Номер 159, страница 280 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 40. Физика атома и атомного ядра. Квантовая физика - номер 159, страница 280.

Условие.

O59. Атомная электростанция мощностью $P = 1000$ МВт имеет КПД 20 %. Какова масса $\text{m}$ расходуемого за сутки ура-на-235? Считайте, что при каждом делении ядра урана выделяется энергия $W_0 = 200$ МэВ.

☑ 5,3 кг.

Решение. Пусть за время $\tau = 1$ сут произошло $\text{N}$ актов деления. Полезная (электрическая) мощность составляет $P = \eta NW_0/\tau$ (здесь $\eta = 0,2$).

Отсюда $N = P\tau/(\eta W_0)$; масса израсходованного урана $m = \frac{MN}{N_A} = \frac{MP\tau}{\eta N_A W_0} = 5,3$ (кг).

Решение.

Дано:

$P = 1000$ МВт

$\eta = 20 \%$

$t = 1$ сутки

$W_0 = 200$ МэВ

Используется уран-235 ($^{235}_{92}U$)

$P = 1000 \cdot 10^6 \text{ Вт} = 10^9 \text{ Вт}$
$\eta = 20\% = 0.2$
$t = 1 \text{ сутки} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$
$W_0 = 200 \text{ МэВ} = 200 \cdot 10^6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 3.2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$
Молярная масса урана-235 $M = 235 \text{ г/моль} = 0.235 \text{ кг/моль}$
Постоянная Авогадро $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$m$

Решение:

Полезная (электрическая) энергия $E_{полезн}$, выработанная атомной электростанцией за время $t$, определяется по формуле:

$E_{полезн} = P \cdot t$

Коэффициент полезного действия (КПД) $\eta$ связывает полезную энергию с полной тепловой энергией $E_{полн}$, выделившейся в результате ядерной реакции:

$\eta = \frac{E_{полезн}}{E_{полн}}$

Отсюда полная энергия равна:

$E_{полн} = \frac{E_{полезн}}{\eta} = \frac{P \cdot t}{\eta}$

Эта энергия выделяется при делении $N$ ядер урана-235, причем при каждом делении выделяется энергия $W_0$. Таким образом, полную энергию можно также выразить как:

$E_{полн} = N \cdot W_0$

Приравняв два выражения для полной энергии, найдем число разделившихся ядер $N$:

$N \cdot W_0 = \frac{P \cdot t}{\eta}$

$N = \frac{P \cdot t}{\eta \cdot W_0}$

Масса $m$ вещества связана с числом частиц $N$ через молярную массу $M$ и постоянную Авогадро $N_A$:

$m = \frac{N}{N_A} \cdot M$

Подставим в эту формулу выражение для $N$:

$m = \frac{P \cdot t \cdot M}{\eta \cdot W_0 \cdot N_A}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчет:

$m = \frac{10^9 \text{ Вт} \cdot 86400 \text{ с} \cdot 0.235 \text{ кг/моль}}{0.2 \cdot (3.2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}) \cdot (6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1})}$

$m = \frac{2.0304 \cdot 10^{13}}{3.85408 \cdot 10^{12}} \approx 5.268 \text{ кг}$

Округляя результат до десятых, получаем $5.3$ кг.

Ответ: масса расходуемого за сутки урана-235 составляет приблизительно $5.3$ кг.