Номер 40.7, страница 277 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 40. Физика атома и атомного ядра. Упражнения - номер 40.7, страница 277.

Условие.

40.7. Период полураспада плутония-238 $T = 86$ лет. При распаде каждого ядра этого изотопа выделяется энергия $E_0 = 5,5$ МэВ. Сколько энергии выделяется за $t = 1$ сут в образце, содержащем $m = 10$ мг плутония-238?

☑ 490 Дж.

Решение. В образце содержится $N_0 = \frac{m}{M} N_A$ атомов плутония (здесь $M = 0,238$ кг/моль). Число распавшихся атомов:

$\Delta N = N_0 - N = N_0 \left(1 - 2^{-t/T}\right) = N_0 \left(1 - e^{-t \ln 2 / T}\right) = N_A \ln 2 \frac{m}{M} \frac{t}{T}$

Мы воспользовались тем, что для малых значений $\text{x}$ справедливо приближенное соотношение $1 - e^{-x} \approx x$. Выделяющаяся энергия $E = \Delta N \cdot E_0 = N_A E_0 \ln 2 \frac{m}{M} \frac{t}{T}$

Решение.

Дано:

Период полураспада плутония-238, $T = 86$ лет

Энергия, выделяемая при распаде одного ядра, $E_0 = 5,5$ МэВ

Масса образца, $m = 10$ мг

Время, $t = 1$ сут

Молярная масса плутония-238, $M \approx 238$ г/моль

Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$T = 86 \text{ лет} = 86 \cdot 365,24 \text{ сут} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} \approx 2,715 \cdot 10^9$ с

$E_0 = 5,5 \text{ МэВ} = 5,5 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 5,5 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 8,811 \cdot 10^{-13}$ Дж

$m = 10 \text{ мг} = 10 \cdot 10^{-6}$ кг

$t = 1 \text{ сут} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400$ с

$M = 238 \text{ г/моль} = 0,238$ кг/моль

Найти:

$E$ — ?

Решение:

1. Найдем начальное число атомов плутония-238 ($N_0$) в образце. Оно равно произведению количества вещества $ν$ на постоянную Авогадро $N_A$.

$N_0 = ν \cdot N_A = \frac{m}{M} N_A$

2. Число ядер, распавшихся за время $t$, определяется законом радиоактивного распада:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0(1 - 2^{-t/T}) = N_0(1 - e^{-\frac{t \ln 2}{T}})$

3. Поскольку время наблюдения $t$ (1 сутки) много меньше периода полураспада $T$ (86 лет), т.е. $t \ll T$, то показатель степени $x = \frac{t \ln 2}{T}$ очень мал. В этом случае можно воспользоваться приближенным равенством для малых $x$: $1 - e^{-x} \approx x$.

Тогда число распавшихся атомов можно найти по формуле:

$\Delta N \approx N_0 \frac{t \ln 2}{T} = \frac{m}{M} N_A \frac{t \ln 2}{T}$

4. Полная энергия $E$, выделившаяся за время $t$, равна произведению числа распавшихся ядер $\Delta N$ на энергию $E_0$, выделяющуюся при распаде одного ядра.

$E = \Delta N \cdot E_0 \approx \frac{m}{M} N_A E_0 \ln 2 \frac{t}{T}$

5. Подставим числовые значения. Для удобства расчета отношения $\frac{t}{T}$ можно использовать одинаковые единицы времени (например, сутки), чтобы оно было безразмерной величиной.

$T = 86 \text{ лет} \approx 86 \cdot 365,24 \text{ сут} \approx 31411 \text{ сут}$

$t = 1 \text{ сут}$

$E \approx \frac{10 \cdot 10^{-6} \, \text{кг}}{0,238 \, \text{кг/моль}} \cdot (6,022 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}) \cdot (8,811 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж}) \cdot \ln 2 \cdot \frac{1 \, \text{сут}}{31411 \, \text{сут}}$

$E \approx (2,53 \cdot 10^{19}) \cdot (8,811 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж}) \cdot 0,693 \cdot (3,1836 \cdot 10^{-5})$

$E \approx 492$ Дж

Полученное значение близко к ответу 490 Дж, указанному в задачнике. Небольшое расхождение может быть связано с использованием округленных значений физических констант.

Ответ:

Выделившаяся энергия $E \approx 492$ Дж.