Номер 40.1, страница 275 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 40. Физика атома и атомного ядра. Квантовая физика - номер 40.1, страница 275.

Условие.

40.1. Вычислите энергию связи $E_{св}$ и удельную энергию связи $E_{св}/A$ для ядер $^{7}_{3}Li$ и $^{27}_{13}Al$.

☑ 39,2 МэВ и 5,6 МэВ/нуклон для ядра лития; 225 МэВ и 8,3 МэВ/нуклон для ядра алюминия.

Решение. Для атомного ядра массой $m_я$, дефект масс $\Delta m = Zm_p + Nm_n - m_я$, где $\text{Z}$ — атомный номер элемента, $N = A - Z$ — число нейтронов в ядре, $\text{A}$ — массовое число.

Считая $m_я = m_{ат} - Zm_e$, находим $\Delta m = Z(m_p + m_e) + Nm_n - m_{ат} = Zm_H + Nm_n - m_{ат}$. Здесь $m_{ат}$ — масса нейтрального атома данного типа, $m_H = m_p + m_e$ — масса атома водорода $^{1}_{1}H$. Энергия связи $E_{св} = \Delta m \cdot c^2$. Для ядра $^{7}_{3}Li$ получаем

$\Delta m = 3m_H + 4m_n - m_{Li} = 0,0421 \text{ (а.е.м.);}$

$E_{св} = 0,0421 \text{ (а.е.м.)} \cdot 931,5 \text{ (МэВ/а.е.м.)} = 39,2 \text{ (МэВ);}$

$E_{св}/A = 5,6 \text{ (МэВ/нуклон).}$

Для ядра $^{27}_{13}Al$ дефект масс $0,242 \text{ а.е.м., } E_{св} = 225 \text{ МэВ,}$

$E_{св}/A = 8,3 \text{ МэВ/нуклон}.$

Решение.

Энергия связи ядра $E_{св}$ — это энергия, которая необходима для полного расщепления ядра на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны). Она определяется дефектом масс $\Delta m$ согласно формуле Эйнштейна $E_{св} = \Delta m \cdot c^2$.

Дефект масс — это разность между суммой масс всех нуклонов, составляющих ядро, и реальной массой ядра. Удобнее использовать массы нейтральных атомов, так как они чаще приводятся в справочниках. Формула для дефекта масс в этом случае выглядит так:

$\Delta m = Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} - m_{ат}$

где $Z$ — число протонов, $N$ — число нейтронов, $m_{H}$ — масса атома водорода ($^{1}_{1}\text{H}$), $m_{n}$ — масса нейтрона, а $m_{ат}$ — масса нейтрального атома данного изотопа.

Удельная энергия связи $E_{уд}$ — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре: $E_{уд} = E_{св} / A$, где $A$ — массовое число ($A = Z + N$).

Для расчетов будем использовать следующие значения:

• Масса атома водорода $m_{H} \approx 1,007825 \text{ а.е.м.}$
• Масса нейтрона $m_{n} \approx 1,008665 \text{ а.е.м.}$
• Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ МэВ}$

Для ядра $^{7}_{3}\text{Li}$

Дано:

Ядро лития: $^{7}_{3}\text{Li}$

Масса атома лития-7: $m_{ат}(^{7}\text{Li}) = 7,016004 \text{ а.е.м.}$

Найти:

$E_{св}$ — энергию связи ядра лития.

$E_{св}/A$ — удельную энергию связи ядра лития.

Решение:

1. Определим состав ядра $^{7}_{3}\text{Li}$:

Число протонов (зарядовое число) $Z = 3$.

Массовое число $A = 7$.

Число нейтронов $N = A - Z = 7 - 3 = 4$.

2. Рассчитаем дефект масс $\Delta m$:

$\Delta m = Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} - m_{ат}(^{7}\text{Li})$

$\Delta m = 3 \cdot 1,007825 + 4 \cdot 1,008665 - 7,016004$

$\Delta m = 3,023475 + 4,03466 - 7,016004 = 7,058135 - 7,016004 = 0,042131 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим энергию связи $E_{св}$:

$E_{св} = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

$E_{св} = 0,042131 \cdot 931,5 \approx 39,24 \text{ МэВ}$

Округляя, получаем $E_{св} \approx 39,2 \text{ МэВ}$.

4. Вычислим удельную энергию связи $E_{св}/A$:

$E_{св}/A = \frac{39,24 \text{ МэВ}}{7} \approx 5,606 \text{ МэВ/нуклон}$

Округляя, получаем $E_{св}/A \approx 5,6 \text{ МэВ/нуклон}$.

Ответ: Энергия связи ядра лития-7 составляет 39,2 МэВ, а удельная энергия связи — 5,6 МэВ/нуклон.

Для ядра $^{27}_{13}\text{Al}$

Дано:

Ядро алюминия: $^{27}_{13}\text{Al}$

Масса атома алюминия-27: $m_{ат}(^{27}\text{Al}) = 26,981538 \text{ а.е.м.}$

Найти:

$E_{св}$ — энергию связи ядра алюминия.

$E_{св}/A$ — удельную энергию связи ядра алюминия.

Решение:

1. Определим состав ядра $^{27}_{13}\text{Al}$:

Число протонов (зарядовое число) $Z = 13$.

Массовое число $A = 27$.

Число нейтронов $N = A - Z = 27 - 13 = 14$.

2. Рассчитаем дефект масс $\Delta m$:

$\Delta m = Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} - m_{ат}(^{27}\text{Al})$

$\Delta m = 13 \cdot 1,007825 + 14 \cdot 1,008665 - 26,981538$

$\Delta m = 13,101725 + 14,12131 - 26,981538 = 27,223035 - 26,981538 = 0,241497 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим энергию связи $E_{св}$:

$E_{св} = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

$E_{св} = 0,241497 \cdot 931,5 \approx 224,95 \text{ МэВ}$

Округляя, получаем $E_{св} \approx 225 \text{ МэВ}$.

4. Вычислим удельную энергию связи $E_{св}/A$:

$E_{св}/A = \frac{224,95 \text{ МэВ}}{27} \approx 8,331 \text{ МэВ/нуклон}$

Округляя, получаем $E_{св}/A \approx 8,3 \text{ МэВ/нуклон}$.

Ответ: Энергия связи ядра алюминия-27 составляет 225 МэВ, а удельная энергия связи — 8,3 МэВ/нуклон.