Номер 39.2, страница 271 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 39. Световые кванты. Упражнения - номер 39.2, страница 271.

Условие.

39.2. Для калия красная граница фотоэффекта равна $\lambda_{max} = 0,62 \text{ мкм}$. Какую максимальную скорость $\upsilon$ могут иметь фотоэлектроны, вылетающие при облучении калия фиолетовым светом с длиной волны $\lambda = 0,42 \text{ мкм}$?

☑ $\upsilon = 580 \text{ км/с}$.

Решение. Работа выхода совпадает с минимальной энергией фотона, вызывающего фотоэффект: $A = hc/\lambda_{max}$. Тогда из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта следует:

$\upsilon = \sqrt{\frac{2hc(\lambda_{max} - \lambda)}{m\lambda\lambda_{max}}} = 5,8 \cdot 10^5 \text{ (м/с)}$.

Решение.

Дано:

Красная граница фотоэффекта для калия, $ \lambda_{max} = 0,62 \text{ мкм} = 0,62 \cdot 10^{-6} \text{ м} $

Длина волны падающего фиолетового света, $ \lambda = 0,42 \text{ мкм} = 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м} $

Постоянная Планка, $ h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $

Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Масса электрона, $ m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектронов $ v $.

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона, работу выхода электрона из металла и максимальную кинетическую энергию вылетевшего электрона:

$ E_{photon} = A_{вых} + E_{k, max} $

Энергия падающего фотона ($ E_{photon} $) определяется его длиной волны $ \lambda $ по формуле:

$ E_{photon} = \frac{hc}{\lambda} $

Работа выхода ($ A_{вых} $) — это минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы он покинул металл. Эта энергия соответствует энергии фотона с длиной волны, равной красной границе фотоэффекта ($ \lambda_{max} $):

$ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}} $

Максимальная кинетическая энергия ($ E_{k, max} $) фотоэлектрона связана с его максимальной скоростью $ v $ соотношением:

$ E_{k, max} = \frac{m_e v^2}{2} $

Подставим все эти выражения в исходное уравнение Эйнштейна:

$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v^2}{2} $

Выразим из этого уравнения член, содержащий кинетическую энергию:

$ \frac{m_e v^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{max}} $

Вынесем общий множитель $ hc $ за скобки и приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{m_e v^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) = hc \frac{\lambda_{max} - \lambda}{\lambda \lambda_{max}} $

Теперь выразим квадрат максимальной скорости $ v^2 $:

$ v^2 = \frac{2hc(\lambda_{max} - \lambda)}{m_e \lambda \lambda_{max}} $

Осталось извлечь квадратный корень, чтобы найти искомую скорость $ v $:

$ v = \sqrt{\frac{2hc(\lambda_{max} - \lambda)}{m_e \lambda \lambda_{max}}} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ v = \sqrt{\frac{2 \cdot (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (0,62 \cdot 10^{-6} \text{ м} - 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м})}{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м}) \cdot (0,62 \cdot 10^{-6} \text{ м})}} $

$ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,63 \cdot 3 \cdot 10^{-26} \cdot (0,20 \cdot 10^{-6})}{9,11 \cdot 0,42 \cdot 0,62 \cdot 10^{-43}}} = \sqrt{\frac{7,956 \cdot 10^{-32}}{2,374 \cdot 10^{-43}}} $

$ v \approx \sqrt{3,351 \cdot 10^{11}} \text{ м/с} \approx 5,789 \cdot 10^5 \text{ м/с} $

Округлим результат до двух значащих цифр и переведем в километры в секунду ($ 1 \text{ км/с} = 1000 \text{ м/с} $):

$ v \approx 5,8 \cdot 10^5 \text{ м/с} = 580 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 580 \text{ км/с} $

Ответ: $ v \approx 580 \text{ км/с} $