Номер 151, страница 269 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 38. Элементы теории относительности. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 151, страница 269.

Условие.

O51. Какую энергию W нужно сообщить протону, чтобы при бомбардировке неподвижных атомов водорода стали возможны те же процессы рождения частиц, что и в случае столкновения двух протонов, движущихся навстречу друг другу с энергией $W_1 = 70 \text{ ГэВ}$ каждый?

☑ $ W = 10\ 400 \text{ ГэВ.}$

Решение.

В обоих случаях должна быть одинакова скорость $\text{u}$ движения одного из протонов в системе отсчета, связанной с другим протоном. При энергии $W_1$ скорость $\text{v}$ протона относительно неподвижной системы отсчета определяется из соотношения $W_1 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Эта скорость $v=c\sqrt{1-\left(\frac{mc^2}{W_1}\right)^2}$ при $W_1 \gg mc^2$ близка к скорости света.

Согласно релятивистскому закону сложения скоростей $u=\frac{2v}{1+v^2/c^2} = \frac{2c\sqrt{1-(mc^2/W_1)^2}}{2-(mc^2/W_1)^2}$. Именно такую скорость должен иметь протон при бомбардировке неподвижной мишени. Его энергия $W = \frac{mc^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \frac{2W_1^2}{mc^2}\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{mc^2}{W_1}\right)^2\right)$. При $W_1 \gg mc^2$ (в данном случае это условие выполняется) получаем $W = \frac{2W_1^2}{mc^2}$. Полученная формула объясняет преимущества ускорителей частиц на встречных пучках.

Решение.

Дано:

Энергия каждого протона при столкновении на встречных пучках: $W_1 = 70$ ГэВ.

Энергия покоя протона: $m c^2 \approx 938.27$ МэВ $\approx 0.938$ ГэВ.

Перевод в систему СИ:

$W_1 = 70 \text{ ГэВ} = 70 \times 10^9 \text{ эВ} = 70 \times 10^9 \times (1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ}) \approx 1.121 \times 10^{-8} \text{ Дж}$.

$mc^2 = 0.938 \text{ ГэВ} \approx 1.503 \times 10^{-10} \text{ Дж}$.

Найти:

$W$ — энергия протона, бомбардирующего неподвижную мишень.

Решение:

Для того чтобы при столкновении частиц были возможны одни и те же процессы рождения новых частиц, необходимо, чтобы в обоих случаях была одинакова полная энергия в системе центра масс. Эта энергия является релятивистским инвариантом, то есть ее значение не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Наиболее удобной для расчетов инвариантной величиной является квадрат так называемой инвариантной массы системы $s$, который вычисляется по формуле $s = (E_{полн})^2 - (\vec{p}_{полн} c)^2$ и должен быть одинаковым в обоих рассматриваемых случаях.

В первом случае (столкновение двух протонов на встречных пучках) лабораторная система отсчета совпадает с системой центра масс. Полная энергия системы равна $E_{полн,1} = W_1 + W_1 = 2W_1$. Полный импульс системы равен нулю, так как импульсы протонов равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{p}_{полн,1} = 0$. Тогда квадрат инвариантной массы для этого случая:

$s_1 = (2W_1)^2 - (0)^2 = 4W_1^2$.

Во втором случае (протон с энергией $W$ налетает на неподвижный протон-мишень) полная энергия системы в лабораторной системе отсчета равна $E_{полн,2} = W + mc^2$, где $mc^2$ — энергия покоя протона. Полный импульс системы равен импульсу налетающего протона $\vec{p}_{полн,2} = \vec{p}$. Квадрат импульса налетающего протона связан с его энергией релятивистским соотношением $W^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, откуда $(pc)^2 = W^2 - (mc^2)^2$. Тогда квадрат инвариантной массы для второго случая:

$s_2 = (E_{полн,2})^2 - (\vec{p}_{полн,2} c)^2 = (W + mc^2)^2 - (pc)^2$

$s_2 = (W^2 + 2Wmc^2 + (mc^2)^2) - (W^2 - (mc^2)^2) = 2Wmc^2 + 2(mc^2)^2$.

Приравнивая инвариантные величины $s_1 = s_2$, получаем уравнение для нахождения искомой энергии $W$:

$4W_1^2 = 2Wmc^2 + 2(mc^2)^2$.

Разделим обе части на 2 и выразим $W$:

$2W_1^2 = Wmc^2 + (mc^2)^2$

$W = \frac{2W_1^2 - (mc^2)^2}{mc^2} = \frac{2W_1^2}{mc^2} - mc^2$.

Так как энергия протонов в коллайдере $W_1 = 70$ ГэВ значительно превышает энергию покоя протона $mc^2 \approx 0.938$ ГэВ ($W_1 \gg mc^2$), можно использовать приближенную формулу, которая также приведена в решении из условия задачи:

$W \approx \frac{2W_1^2}{mc^2}$.

Подставим числовые значения:

$W \approx \frac{2 \cdot (70 \text{ ГэВ})^2}{0.938 \text{ ГэВ}} = \frac{2 \cdot 4900 \text{ ГэВ}^2}{0.938 \text{ ГэВ}} = \frac{9800}{0.938} \text{ ГэВ} \approx 10448 \text{ ГэВ}$.

Полученный результат хорошо согласуется с ответом, приведенным в задаче. Расхождение, вероятно, связано с округлением. Данный расчет наглядно демонстрирует преимущество ускорителей на встречных пучках: для достижения той же энергии в системе центра масс, что и у двух частиц с энергией 70 ГэВ, ускорителю с неподвижной мишенью требуется сообщить одной частице энергию около 10,4 ТэВ.

Ответ: $W = 10400$ ГэВ.