Номер 150, страница 268 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 38. Элементы теории относительности. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 150, страница 268.

Условие.

O50. На концах трубки со сжатой легкой пружиной удерживаются нитью одинаковые шарики массой $\text{m}$ (см. рисунок).

При разрыве нити шарики разлетаются с одинаковыми скоростями $\text{u}$. Найдите скорости $v_1$ и $v_2$ разлетающихся шариков, если в момент «выстрела» трубка движется поступательно в направлении своей оси со скоростью $v > u$. Найдите также суммарный импульс $\text{p}$ разлетающихся шариков. Не противоречит ли полученный результат закону сохранения импульса? Скорости $v, и$ считайте релятивистскими.

☑ $v_1 = \frac{v+u}{1+vu/c^2}$, $v_2 = \frac{v-u}{1-vu/c^2}$

$p = \frac{2mv}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$

Решение. Согласно релятивистскому закону сложения скоростей $v_1 = \frac{v+u}{1+vu/c^2}$, $v_2 = \frac{v-u}{1-vu/c^2}$.

Суммарный импульс разлетающихся шариков равен:

$p = \frac{mv_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} + \frac{mv_2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{2mv}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$.

До выстрела суммарный импульс шариков был меньше:

$p_0 = 2mv/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Однако следует учесть, что сжатая пружина обладала потенциальной энергией, которая при выстреле перешла в кинетическую энергию шариков:

$W = 2mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 1 \right)$.

Эта энергия вычислена в системе отсчета, в которой пружина покоилась, т. е. представляет собой добавку к энергии покоя пружины. Ей соответствует добавка $m_1 = W/c^2$ к массе покоя, а при движении со скоростью $\text{v}$ — импульс $p_1 = \frac{m_1v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Нетрудно проверить, что $p_0 + p_1 = p$ в полном соответствии с законом сохранения импульса. Заметим, что масса покоя системы до распада больше суммарной массы покоя «осколков» (такая ситуация типична для распада ядер).

Решение.

Дано

Масса каждого шарика: $m$

Скорость разлета шариков в системе отсчета, связанной с трубкой: $u$

Скорость трубки в лабораторной системе отсчета: $v$

Условие: $v > u$

Найти

1. Скорости шариков $v_1$ и $v_2$ в лабораторной системе отсчета.

2. Суммарный импульс $p$ разлетающихся шариков.

3. Проверить, не противоречит ли результат закону сохранения импульса.

Решение

1. Нахождение скоростей v₁ и v₂

Для нахождения скоростей шариков в лабораторной системе отсчета (ЛСО) воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей. Пусть ЛСО — это система K, а система отсчета, связанная с движущейся трубкой, — K'. Система K' движется относительно K со скоростью $v$. В системе K' шарики разлетаются в противоположные стороны со скоростями $u$ и $-u$.

Скорость первого шарика $v_1$ в системе K, который в K' движется в направлении движения трубки (со скоростью $u$), равна:

$v_1 = \frac{v + u}{1 + \frac{vu}{c^2}}$

Скорость второго шарика $v_2$ в системе K, который в K' движется против направления движения трубки (со скоростью $-u$), равна:

$v_2 = \frac{v + (-u)}{1 + \frac{v(-u)}{c^2}} = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$

Ответ: $v_1 = \frac{v + u}{1 + vu/c^2}$, $v_2 = \frac{v - u}{1 - vu/c^2}$

2. Нахождение суммарного импульса p

Суммарный импульс $p$ разлетевшихся шариков в ЛСО равен сумме их релятивистских импульсов $p_1$ и $p_2$.

$p = p_1 + p_2 = \frac{mv_1}{\sqrt{1 - v_1^2/c^2}} + \frac{mv_2}{\sqrt{1 - v_2^2/c^2}}$

Найдем знаменатели для каждого слагаемого. Для $v_1$:

$\sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{v+u}{1+vu/c^2}\right)^2} = \sqrt{\frac{(1+vu/c^2)^2 - (v+u)^2/c^2}{(1+vu/c^2)^2}}$

Раскрывая скобки в числителе под корнем, получаем:

$1 + \frac{2vu}{c^2} + \frac{v^2u^2}{c^4} - \frac{v^2}{c^2} - \frac{2vu}{c^2} - \frac{u^2}{c^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} - \frac{u^2}{c^2} + \frac{v^2u^2}{c^4} = \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)$

Таким образом:

$\sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}} = \frac{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}{1+vu/c^2}$

Аналогичные вычисления для $v_2$ дают:

$\sqrt{1 - \frac{v_2^2}{c^2}} = \frac{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}{1-vu/c^2}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для импульсов:

$p_1 = \frac{m \frac{v+u}{1+vu/c^2}}{\frac{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}{1+vu/c^2}} = \frac{m(v+u)}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$

$p_2 = \frac{m \frac{v-u}{1-vu/c^2}}{\frac{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}{1-vu/c^2}} = \frac{m(v-u)}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$

Суммируем импульсы:

$p = p_1 + p_2 = \frac{m(v+u) + m(v-u)}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}} = \frac{2mv}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$

Ответ: $p = \frac{2mv}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$

3. Анализ закона сохранения импульса

До разрыва нити (до "выстрела") система состояла из двух шариков массой $m$ каждый и сжатой пружины. Вся система двигалась как единое целое со скоростью $v$.

Импульс двух шариков до выстрела был $p_{шариков, до} = \frac{2mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Сравнивая импульс системы после выстрела $p$ с начальным импульсом шариков $p_{шариков, до}$, мы видим, что $p > p_{шариков, до}$, так как знаменатель $\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}$ меньше, чем $\sqrt{1-v^2/c^2}$. На первый взгляд, это противоречит закону сохранения импульса.

Однако, в начальном состоянии системы необходимо учесть не только массу покоя шариков, но и массу, эквивалентную потенциальной энергии $W$ сжатой пружины. Эта энергия при выстреле переходит в кинетическую энергию разлетающихся шариков (в системе отсчета трубки K'). Энергия $W$ равна:

$W = 2 \cdot (E_k' - E_0) = 2 \left( \frac{mc^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - mc^2 \right) = 2mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 1 \right)$

Этой энергии соответствует эквивалентная масса $m_W = W/c^2 = 2m \left( \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 1 \right)$.

Таким образом, полная масса покоя системы до выстрела была $M_{до} = 2m + m_W$. Полный начальный импульс системы $p_{до}$ равен:

$p_{до} = \frac{M_{до} v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{(2m + m_W)v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{\left(2m + 2m \left( \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 1 \right)\right)v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Упростим выражение в скобках:

$2m + \frac{2m}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 2m = \frac{2m}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

Тогда полный начальный импульс:

$p_{до} = \frac{\frac{2m}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \cdot v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{2mv}{\sqrt{(1-v^2/c^2)(1-u^2/c^2)}}$

Сравнивая $p_{до}$ с полным импульсом шариков после выстрела $p$, получаем $p_{до} = p$.

Ответ: Полученный результат не противоречит закону сохранения импульса. Импульс системы сохраняется, если учесть массу, эквивалентную потенциальной энергии сжатой пружины. Масса покоя системы до распада (шарики + энергия пружины) больше суммарной массы покоя "осколков" (двух шариков) после распада. Этот дефект массы переходит в кинетическую энергию разлетающихся шариков.