Номер 38.4, страница 266 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 38. Элементы теории относительности. Упражнения - номер 38.4, страница 266.

Условие.

38.4. В космическом корабле, летящем со скоростью $v = 0,6 c$ относительно Земли, растет стебель лука со скоростью $u_0 = 5$ см/сут. Какова скорость $\text{u}$ роста стебля с точки зрения земного наблюдателя? Стебель расположен под прямым углом к направлению движения корабля.

☑ $u = 4,0$ см/сут.

Решение. За время $\Delta t_0$ в системе отсчета «Корабль» стебель удлиняется на $\Delta l = u_0 \Delta t_0$. В системе отсчета «Земля» удлинение стебля такое же (поперечные размеры одинаковы в обеих системах отсчета), но прошедшее время $\Delta t$ больше: $\Delta t = \Delta t_0 / \sqrt{1-v^2/c^2}$. Поэтому $u = \frac{\Delta l}{\Delta t} = u_0 \sqrt{1-v^2/c^2}$.

Фактически мы вывели общую формулу преобразования «поперечной» составляющей скорости при переходе в другую систему отсчета.

Решение.

Дано:

$v = 0,6c$

$u_0 = 5$ см/сут

Перевод в систему СИ:
Скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.
$v = 0,6 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 1,8 \cdot 10^8$ м/с.
$u_0 = 5 \frac{\text{см}}{\text{сут}} = \frac{5 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{24 \cdot 3600 \text{ с}} = \frac{0,05 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 5,79 \cdot 10^{-7}$ м/с.

Найти:

$u$ - скорость роста стебля для земного наблюдателя.

Решение:

Данная задача решается в рамках специальной теории относительности (СТО). Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: $S$, связанную с Землей (которую будем считать неподвижной), и $S'$, связанную с космическим кораблем (движущуюся со скоростью $v$ относительно $S$).

В системе отсчета корабля $S'$ стебель растет со скоростью $u_0$ в направлении, перпендикулярном движению корабля. За промежуток времени $\Delta t_0$, измеренный часами на корабле (это собственное время), стебель удлиняется на величину $\Delta l$. Таким образом:

$\Delta l = u_0 \Delta t_0$

Согласно СТО, поперечные размеры тел (то есть размеры, перпендикулярные направлению относительного движения систем отсчета) инвариантны. Это значит, что наблюдатель на Земле измерит такое же удлинение стебля $\Delta l$.

Однако промежуток времени, за который произошло это удлинение, для земного наблюдателя будет другим. Из-за релятивистского эффекта замедления времени промежуток времени $\Delta t$ в системе $S$ (на Земле) будет больше, чем собственный промежуток времени $\Delta t_0$ в системе $S'$ (на корабле):

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Скорость роста стебля $u$ с точки зрения земного наблюдателя равна отношению удлинения $\Delta l$ к промежутку времени $\Delta t$, измеренному в системе $S$:

$u = \frac{\Delta l}{\Delta t}$

Теперь подставим в эту формулу выражения для $\Delta l$ и $\Delta t$:

$u = \frac{u_0 \Delta t_0}{\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}$

Сократив $\Delta t_0$, получаем формулу для преобразования поперечной составляющей скорости:

$u = u_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Поскольку множитель $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ безразмерен, скорость $u_0$ можно оставить в исходных единицах (см/сут).

$u = 5 \frac{\text{см}}{\text{сут}} \cdot \sqrt{1 - \frac{(0,6c)^2}{c^2}} = 5 \frac{\text{см}}{\text{сут}} \cdot \sqrt{1 - 0,36} = 5 \frac{\text{см}}{\text{сут}} \cdot \sqrt{0,64}$

$u = 5 \frac{\text{см}}{\text{сут}} \cdot 0,8 = 4,0 \frac{\text{см}}{\text{сут}}$

Ответ: $u = 4,0$ см/сут.