Номер 144, страница 262 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 37. Геометрическая оптика. Олимпиадные задачи - номер 144, страница 262.

Условие.

O44. Принцип Ферма. Луч света идет из точки A в точку B, преломляясь на плоской границе раздела двух сред (см. рисунок). Докажите, что время прохождения света из точки A в точку B минимально как раз в том случае, когда луч «подчиняется» закону преломления.

Решение. Обозначим через $v_1$ и $v_2$ скорости света соответственно в первой и второй средах; $\alpha$ и $\beta$ — углы падения и преломления луча. Выразим время $\text{t}$, необходимое для прохождения света из точки A в точку B, через длину $\text{x}$ отрезка A₁C (см. рисунок):

$t = \frac{AC}{v_1} + \frac{BC}{v_2} = \frac{\sqrt{h_1^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{h_2^2 + (d - x)^2}}{v_2}.$

Производная этой функции

$t' = \frac{x}{v_1\sqrt{h_1^2 + x^2}} - \frac{d - x}{v_2\sqrt{h_2^2 + (d - x)^2}} = \frac{\sin\alpha}{v_1} - \frac{\sin\beta}{v_2}.$

Она обращается в нуль при условии $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{v_1}{v_2}$, т. е. как раз тогда, когда луч подчиняется закону преломления. Можно показать, что в данном случае это соответствует наименьшему значению функции $t(x)$. Принцип Ферма, согласно которому свет всегда «выбирает» траекторию, прохождение которой требует наименьшего* времени, является общим принципом геометрической оптики: он

объясняет как прямолинейное распространение света в однородной среде, так и законы отражения и преломления света.

Решение.

Дано:
Две оптические среды I и II с плоской границей раздела.
Точка A в среде I на расстоянии $h_1$ от границы.
Точка B в среде II на расстоянии $h_2$ от границы.
Горизонтальное расстояние между проекциями точек A и B на границу равно $d$.
Скорость света в среде I равна $v_1$.
Скорость света в среде II равна $v_2$.

Найти:
Доказать, что время прохождения света из точки А в точку В минимально, когда выполняется закон преломления света.

Решение:

Пусть луч света переходит из среды I в среду II, преломляясь в точке C на границе раздела. Введем систему координат, как показано на рисунке в условии. Пусть горизонтальное расстояние от проекции точки А (точка $A_1$) до точки преломления С равно $x$. Тогда горизонтальное расстояние от C до проекции точки B (точка $B_1$) будет равно $d-x$.

Путь луча состоит из двух отрезков: AC в среде I и CB в среде II. Длины этих отрезков можно выразить с помощью теоремы Пифагора:
Длина отрезка AC: $AC = \sqrt{h_1^2 + x^2}$
Длина отрезка CB: $BC = \sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}$

Время, необходимое свету для прохождения каждого отрезка, равно отношению длины отрезка к скорости света в соответствующей среде:
Время на пути AC: $t_1 = \frac{AC}{v_1} = \frac{\sqrt{h_1^2 + x^2}}{v_1}$
Время на пути CB: $t_2 = \frac{BC}{v_2} = \frac{\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}}{v_2}$

Общее время $t$ прохождения света из точки A в точку B является функцией от переменной $x$:$t(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{h_1^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}}{v_2}$

Чтобы найти минимальное время, нужно найти такое значение $x$, при котором функция $t(x)$ достигает своего минимума. Для этого найдем производную функции $t(x)$ по $x$ и приравняем ее к нулю.$t'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{h_1^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}}{v_2} \right)$$t'(x) = \frac{1}{v_1} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{h_1^2 + x^2}} + \frac{1}{v_2} \cdot \frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}} = \frac{x}{v_1\sqrt{h_1^2 + x^2}} - \frac{d-x}{v_2\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}}$

Из геометрии задачи (см. рисунок) видно, что выражения в производной связаны с синусами угла падения $\alpha$ и угла преломления $\beta$:
$\sin\alpha = \frac{x}{AC} = \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}}$
$\sin\beta = \frac{d-x}{BC} = \frac{d-x}{\sqrt{h_2^2 + (d-x)^2}}$

Подставим эти соотношения в выражение для производной:$t'(x) = \frac{\sin\alpha}{v_1} - \frac{\sin\beta}{v_2}$

Условием экстремума (минимума) функции является равенство ее производной нулю: $t'(x) = 0$.$\frac{\sin\alpha}{v_1} - \frac{\sin\beta}{v_2} = 0$

Отсюда получаем:$\frac{\sin\alpha}{v_1} = \frac{\sin\beta}{v_2}$

Это соотношение можно переписать в виде $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{v_1}{v_2}$, что в точности является законом преломления света (законом Снеллиуса).Таким образом, время распространения света между двумя точками в разных средах минимально именно для той траектории, которая удовлетворяет закону преломления. Это утверждение известно как принцип Ферма (принцип наименьшего времени), который является одним из основных принципов геометрической оптики.

Ответ: Условие минимума времени прохождения света из точки А в точку В ($t'(x)=0$) приводит к соотношению $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{v_1}{v_2}$, что является математической формулировкой закона преломления света. Следовательно, доказано, что время прохождения света минимально, когда луч подчиняется закону преломления.