Номер 143, страница 261 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 37. Геометрическая оптика. Олимпиадные задачи - номер 143, страница 261.

Условие.

O43. Три зеркала образуют между собой двугранные прямые углы (см. рисунок). Докажите, что после трех отражений от этой системы зеркал направление луча света изменяется на противоположное.

Решение. Воспользуемся механической аналогией — заменим зеркала упругими стенками, а луч света — упругим шариком (законы отражения в обоих случаях одинаковы). Если направить оси координат вдоль ребер двугранных углов, то при каждом из трех столкновений одна из проекций начальной скорости $\text{v}$ шарика $(v_x, v_y, v_z)$ изменяет знак, а остальные две — не изменяются. После трех столкновений проекции скорости на оси координат равны $-v_x$, $-v_y$ и $-v_z$, т. е. скорость шарика равна $-v$. Рассмотренное свойство зеркального «трехгранного прямого угла» используется в уголковых отражателях (катафотах).

Решение.

Решение:

Чтобы доказать это утверждение, введем декартову систему координат $Oxyz$. Расположим три взаимно перпендикулярных зеркала так, чтобы они совпадали с координатными плоскостями $XY$, $YZ$ и $XZ$.

Пусть луч света падает на эту систему. Его направление можно описать вектором скорости $\vec{v}$ с компонентами $(v_x, v_y, v_z)$: $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$

Рассмотрим последовательные отражения луча от каждого из трех зеркал. Порядок отражений не имеет значения для конечного результата, но для определенности предположим, что луч отражается от всех трех плоскостей.

1. Первое отражение (например, от плоскости YZ). Плоскость $YZ$ перпендикулярна оси $Ox$. Согласно закону зеркального отражения, компонента скорости, перпендикулярная плоскости зеркала, изменяет свой знак на противоположный, а компоненты, параллельные плоскости, остаются без изменений. В данном случае изменяется компонента $v_x$. Вектор скорости после первого отражения $\vec{v}_1$: $\vec{v}_1 = (-v_x, v_y, v_z)$

2. Второе отражение (например, от плоскости XZ). Теперь луч с вектором скорости $\vec{v}_1$ падает на зеркало в плоскости $XZ$. Эта плоскость перпендикулярна оси $Oy$. Следовательно, изменится знак компоненты $v_y$. Вектор скорости после второго отражения $\vec{v}_2$: $\vec{v}_2 = (-v_x, -v_y, v_z)$

3. Третье отражение (от плоскости XY). Наконец, луч с вектором скорости $\vec{v}_2$ отражается от зеркала в плоскости $XY$. Эта плоскость перпендикулярна оси $Oz$. Значит, изменится знак компоненты $v_z$. Вектор скорости после третьего отражения $\vec{v}_3$: $\vec{v}_3 = (-v_x, -v_y, -v_z)$

Сравним конечный вектор скорости $\vec{v}_3$ с начальным вектором $\vec{v}$: $\vec{v}_3 = (-v_x, -v_y, -v_z) = -(v_x, v_y, v_z) = -\vec{v}$

Таким образом, после трех последовательных отражений от взаимно перпендикулярных зеркал конечный вектор направления луча равен начальному вектору, взятому с обратным знаком. Это означает, что направление луча света изменилось на строго противоположное, что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что после трех отражений от системы из трех взаимно перпендикулярных зеркал вектор направления луча $\vec{v}$ становится равным $-\vec{v}$, то есть направление изменяется на противоположное.