Номер 145, страница 263 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 37. Геометрическая оптика. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 145, страница 263.

Условие.

О45. Расстояние между двумя точечными источниками света $l = 32$ см. Где между ними надо поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 12$ см, чтобы изображения обоих источников оказались в одной точке?

☑ На расстоянии 8 см от одного из источников.

Решение. Очевидно, одно из изображений будет мнимым, т. е. $f_1 = -f_2$. Будем считать $f_2 > 0$. Из формулы тонкой линзы следует, что $d_1 = \frac{Ff_2}{f_2 + F}$, $d_2 = \frac{Ff_2}{f_2 - F}$; здесь

$d_1$ и $d_2$ — расстояния от линзы до источников света. Из условия $d_1 + d_2 = l$ находим $f_2 = F \sqrt{\frac{l}{l - 2F}}$.

Отсюда $d_1 = \frac{l}{2} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{2F}{l}}\right) = 8$ (см) и $d_2 = l - d_1 = 24$ (см).

Решение.

Дано

Расстояние между источниками света: $l = 32$ см

Фокусное расстояние собирающей линзы: $F = 12$ см

В системе СИ:

$l = 0.32$ м

$F = 0.12$ м

Найти:

Расстояния от линзы до каждого из источников — $d_1$ и $d_2$.

Решение

Пусть линза расположена между двумя точечными источниками света $S_1$ и $S_2$ на расстоянии $d_1$ от $S_1$ и $d_2$ от $S_2$. Поскольку линза находится между источниками, сумма этих расстояний равна общему расстоянию между ними:

$d_1 + d_2 = l$

Чтобы изображения обоих источников, создаваемые линзой, оказались в одной и той же точке пространства, необходимо, чтобы одно из изображений было действительным, а другое — мнимым. Это связано с тем, что источники находятся по разные стороны от линзы. Если бы оба изображения были действительными (или оба мнимыми), они бы также оказались по разные стороны от линзы и не смогли бы совпасть.

Пусть изображение источника $S_1$ является действительным (находится на расстоянии $f_1$ от линзы), а изображение источника $S_2$ — мнимым (на расстоянии $f_2$). Согласно правилу знаков для линз, расстояние до действительного изображения считается положительным ($f_1 > 0$), а до мнимого — отрицательным ($f_2 < 0$).

Действительное изображение от $S_1$ формируется с противоположной стороны линзы (со стороны $S_2$). Мнимое изображение от $S_2$ формируется с той же стороны, что и сам источник $S_2$. Чтобы изображения совпали, они должны находиться на одинаковом расстоянии от линзы и по одну сторону от нее. Это условие можно записать как $f_1 = |f_2|$, или, с учетом знаков, $f_1 = -f_2$.

Запишем формулу тонкой линзы для каждого источника:

Для источника $S_1$: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Для источника $S_2$: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

Подставим условие $f_2 = -f_1$ во второе уравнение:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{-f_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{1}{d_2} - \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, из которых можно выразить $\frac{1}{f_1}$:

$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1}$

$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{F}$

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{1}{F} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{F}$

Перегруппируем слагаемые:

$\frac{2}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{F} = \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2}$

Используя условие $d_1 + d_2 = l$, получим:

$\frac{2}{F} = \frac{l}{d_1 d_2} \implies d_1 d_2 = \frac{lF}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $d_1$ и $d_2$:

$d_1 + d_2 = l$

$d_1 d_2 = \frac{lF}{2}$

Согласно обратной теореме Виета, $d_1$ и $d_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (d_1+d_2)x + d_1 d_2 = 0$. Подставив наши выражения, получим:

$x^2 - lx + \frac{lF}{2} = 0$

Подставим числовые значения ($l=32$ см, $F=12$ см):

$x^2 - 32x + \frac{32 \cdot 12}{2} = 0$

$x^2 - 32x + 192 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

$x_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{32 \pm 16}{2}$

Таким образом, искомые расстояния равны:

$d_1 = \frac{32 - 16}{2} = 8$ см

$d_2 = \frac{32 + 16}{2} = 24$ см

Следовательно, линзу нужно поместить на расстоянии 8 см от одного источника и 24 см от другого.

Проверим, выполняются ли условия для получения действительного и мнимого изображений. Для собирающей линзы ($F=12$ см) действительное изображение формируется, если предмет находится дальше фокусного расстояния ($d > F$), а мнимое — если ближе ($d < F$).

При $d_1=8$ см, имеем $d_1 < F$, значит, изображение первого источника будет мнимым.

При $d_2=24$ см, имеем $d_2 > F$, значит, изображение второго источника будет действительным.

Условия выполняются.

Ответ: Линзу необходимо поместить на расстоянии 8 см от одного из источников (и, соответственно, на расстоянии 24 см от другого).