Номер 38.2, страница 265 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 38. Элементы теории относительности. Упражнения - номер 38.2, страница 265.

Условие.

38.2. Пусть в системе отсчета K расстояние между точками, в которых произошли два события, равно $\text{l}$, а промежуток времени между этими событиями равен $\tau$. Обозначим $S = ct - l$. В системе отсчета K' соответствующая величина $S' = ct' - l'$, где $l'$ и $\tau'$ — расстояние и промежуток времени между теми же событиями. Исходя из постулатов теории относительности, докажите, что величины S и S' имеют одинаковый знак или обе обращаются в нуль.

Решение. Пусть $S = 0$, т. е. $l = ct$. Тогда свет, испущенный при первом событии, может быть поглощен при втором событии. Это утверждение справедливо в любой системе отсчета; следовательно, $l' = ct'$ и $S' = 0$. Если $S > 0$, то $l/\tau < c$. Это означает, что некоторая частица с отличной от нуля массой покоя, испущенная при первом событии, может быть поглощена при втором событии: для этого она должна двигаться со скоростью $v = l/\tau$, что возможно, поскольку эта скорость меньше скорости света. В системе K' скорость этой же частицы $v' = l'/\tau'$. Поскольку эта скорость также меньше скорости света, получаем $l'/\tau' < c$, т. е. $S' > 0$. Методом исключения доказывается, что если $S < 0$, то и $S' < 0$.

Решение.

Решение

Доказательство основывается на двух постулатах специальной теории относительности (СТО):

1. Принцип относительности: Все физические законы имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).
2. Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от скорости движения источника или наблюдателя.

Из этих постулатов следует фундаментальный принцип причинности: причина всегда предшествует следствию во всех ИСО. Максимальная скорость передачи взаимодействия равна скорости света $c$.

Рассмотрим три возможных случая для знака величины $S = c\tau - l$.

Случай 1: $S=0$

Если $S = 0$, то $c\tau - l = 0$, или $l = c\tau$. Это равенство имеет ясный физический смысл: расстояние $l$ между точками, где произошли два события, в точности равно расстоянию, которое свет проходит в вакууме за промежуток времени $\tau$ между этими событиями. Следовательно, световой сигнал, испущенный в месте и в момент первого события, достигнет места второго события как раз в тот момент, когда оно произойдет. Таким образом, эти два события могут быть связаны световым сигналом.

Согласно второму постулату СТО, скорость света одинакова во всех ИСО. Согласно первому постулату, физическая возможность связи двух событий световым сигналом должна существовать в любой ИСО. Это означает, что в системе отсчета K' расстояние $l'$ между событиями и промежуток времени $\tau'$ между ними также должны удовлетворять соотношению $l' = c\tau'$.

Отсюда следует, что для соответствующей величины $S'$ в системе K' мы получаем: $S' = c\tau' - l' = c\tau' - c\tau' = 0$.

Таким образом, если $S = 0$, то и $S' = 0$.

Случай 2: $S > 0$

Если $S > 0$, то $c\tau - l > 0$, что эквивалентно $l < c\tau$ или $v = l/\tau < c$. Это означает, что для того чтобы переместиться из точки пространства-времени первого события в точку второго, достаточно двигаться со скоростью $v$, которая меньше скорости света. Это физически возможно для частицы с ненулевой массой покоя. Следовательно, первое событие может быть причиной второго, то есть между событиями может существовать причинно-следственная связь.

Принцип причинности, как следствие постулатов СТО, должен выполняться во всех ИСО. Если событие A может быть причиной события B в системе K, оно должно мочь быть его причиной и в системе K'. Это означает, что и в системе K' должна существовать возможность для материального объекта долететь от первого события до второго. Для этого необходимо, чтобы скорость $v' = l'/\tau'$, требуемая для такого перемещения в системе K', была меньше скорости света: $v' < c$.

Из неравенства $l'/\tau' < c$ следует, что $l' < c\tau'$, или $c\tau' - l' > 0$.

Таким образом, если $S > 0$, то и $S' > 0$.

Случай 3: $S < 0$

Если $S < 0$, то $c\tau - l < 0$, что эквивалентно $l > c\tau$ или $l/\tau > c$. В этом случае расстояние между событиями слишком велико, а промежуток времени слишком мал, чтобы какой-либо сигнал (даже световой) мог соединить эти два события. Чтобы переместиться из точки первого события в точку второго, потребовалась бы сверхсветовая скорость $v = l/\tau > c$, что невозможно согласно постулатам СТО.

Следовательно, в этом случае события не могут быть причинно связаны (первое не может повлиять на второе).

Поскольку невозможность сверхсветового движения и, как следствие, отсутствие причинно-следственной связи являются объективной физической реальностью, этот факт должен быть справедлив во всех ИСО. Это означает, что и в системе K' эти два события не могут быть причинно связаны. Для этого необходимо, чтобы скорость, требуемая для их соединения в системе K', также была сверхсветовой: $v' = l'/\tau' > c$.

Из неравенства $l'/\tau' > c$ следует, что $l' > c\tau'$, или $c\tau' - l' < 0$.

Таким образом, если $S < 0$, то и $S' < 0$.

Ответ: На основании анализа трех возможных случаев с опорой на постулаты теории относительности и принцип причинности доказано, что знак величины $S = c\tau - l$ является инвариантом при переходе между инерциальными системами отсчета. То есть, величины $S$ и $S'$ всегда имеют одинаковый знак или обе одновременно обращаются в нуль.