Номер 38.1, страница 265 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 38. Элементы теории относительности. Упражнения - номер 38.1, страница 265.

Условие.

38.1. Релятивистская частица распадается на два одинаковых «осколка». Скорость одного из них равна нулю. Найдите скорость $\text{v}$ частицы до распада и скорость $v_2$ второго «осколка», если известно, что при распаде такой же неподвижной частицы оба «осколка» имеют скорость $\text{u}$.

☑ $v = u, v_2 = \frac{2uc^2}{c^2 + u^2}$

Решение. В системе отсчета $K'$, в которой частица до распада неподвижна, первый осколок вылетел назад со скоростью $\text{u}$. Поскольку этот осколок неподвижен в лабораторной системе отсчета $\text{K}$, эта система движется относительно $K'$ назад со скоростью $\text{u}$, т. е. $v = u$. Для определения скорости второго осколка в системе отсчета $\text{K}$ воспользуемся релятивистской формулой сложения скоростей:

$v_2 = \frac{v + u}{1 + vu/c^2} = \frac{2uc^2}{c^2 + u^2}$

Решение.

Дано:

Релятивистская частица распадается на два одинаковых осколка.

Скорость одного из осколков в лабораторной системе отсчета (ЛСО) $v_1 = 0$.

При распаде такой же, но неподвижной частицы, скорость каждого из осколков равна $u$.

Найти:

Скорость частицы до распада $v$ и скорость второго осколка $v_2$ в ЛСО.

Решение:

Для решения задачи введем две системы отсчета:

1. Лабораторная система отсчета $K$ (ЛСО), в которой исходная частица движется со скоростью $v$, а один из осколков после распада покоится.

2. Система отсчета $K'$, связанная с движущейся частицей до распада. В этой системе частица покоится. Эту систему также называют системой центра инерции.

Согласно условию, при распаде неподвижной частицы (что соответствует процессу в системе $K'$) осколки разлетаются со скоростью $u$. Так как осколки одинаковы, а начальный импульс в этой системе равен нулю, по закону сохранения импульса они должны двигаться в противоположных направлениях с равными по модулю скоростями. Примем, что их скорости в системе $K'$ равны $u'_1 = -u$ и $u'_2 = +u$.

Система отсчета $K'$ движется относительно лабораторной системы $K$ со скоростью $V = v$, равной скорости исходной частицы в ЛСО.

Для преобразования скоростей из системы $K'$ в систему $K$ используем релятивистский закон сложения скоростей:

$v_x = \frac{v'_x + V}{1 + \frac{v'_x V}{c^2}}$

где $v_x$ — скорость объекта в системе $K$, $v'_x$ — скорость объекта в системе $K'$, и $V$ — относительная скорость систем.

Применим эту формулу для первого осколка. Его скорость в системе $K$ равна $v_1 = 0$, а в системе $K'$ равна $u'_1 = -u$.

$v_1 = \frac{u'_1 + v}{1 + \frac{u'_1 v}{c^2}} = \frac{-u + v}{1 - \frac{uv}{c^2}}$

Поскольку $v_1 = 0$, числитель дроби должен быть равен нулю:

$-u + v = 0$

Отсюда находим скорость исходной частицы:

$v = u$

Теперь определим скорость второго осколка $v_2$ в лабораторной системе $K$. Его скорость в системе $K'$ равна $u'_2 = +u$.

$v_2 = \frac{u'_2 + v}{1 + \frac{u'_2 v}{c^2}} = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{c^2}}$

Подставим в это выражение ранее найденное значение $v = u$:

$v_2 = \frac{u + u}{1 + \frac{u \cdot u}{c^2}} = \frac{2u}{1 + \frac{u^2}{c^2}}$

Для удобства приведем выражение к другому виду, умножив числитель и знаменатель на $c^2$:

$v_2 = \frac{2u \cdot c^2}{(1 + \frac{u^2}{c^2}) \cdot c^2} = \frac{2uc^2}{c^2 + u^2}$

Ответ:

Скорость частицы до распада $v = u$. Скорость второго осколка $v_2 = \frac{2uc^2}{c^2 + u^2}$.