Номер 148, страница 267 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 38. Элементы теории относительности. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 148, страница 267.

Условие.

О48. Электрон разгоняется до релятивистской скорости в однородном электрическом поле с напряженностью Е. Запишите формулу зависимости скорости v электрона от времени и постройте график этой зависимости. Через какое время $\tau$ скорость v достигнет половины скорости света? Начальную скорость электрона считайте равной нулю.

☑ $v = c \frac{eEt}{\sqrt{m^2 c^2 + e^2 E^2 t^2}}; \tau = \frac{mc}{\sqrt{3}eE}$; см. рисунок.

Решение. Из уравнения $F = \frac{dp}{dt}$ при $F = eE = \text{const}$ следует, что $p = eEt$. Поскольку $p = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, находим $v = c \frac{eEt}{\sqrt{m^2 c^2 + e^2 E^2 t^2}}$. При $v = c/2$ импульс электрона равен $\frac{mc}{\sqrt{3}}$, откуда $\tau = \frac{mc}{\sqrt{3}eE}$. Когда $eEt \ll mc$, получаем $v = eEt/m$ («классическое» равноускоренное движение).

Решение.

Дано:

Однородное электрическое поле с напряженностью $E$.

Электрон с зарядом $e$ и массой покоя $m$.

Начальная скорость электрона $v_0 = 0$.

Скорость света в вакууме $c$.

Найти:

1. Формулу зависимости скорости электрона от времени $v(t)$.

2. График зависимости $v(t)$.

3. Время $\tau$, через которое скорость электрона достигнет $v = c/2$.

Решение:

Движение электрона описывается релятивистским уравнением движения (вторым законом Ньютона в релятивистской форме):

$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $

где $\vec{F}$ – сила, действующая на электрон, а $\vec{p}$ – его релятивистский импульс.

Сила, действующая на электрон в однородном электрическом поле, постоянна и равна $\vec{F} = e\vec{E}$. Так как движение одномерное (вдоль силовых линий поля), можно перейти к скалярной форме: $F = eE$.

Поскольку сила постоянна, мы можем проинтегрировать уравнение движения по времени:

$ \int_0^p d\vec{p}' = \int_0^t \vec{F} dt' $

Учитывая, что начальная скорость, а следовательно, и начальный импульс равны нулю ($p_0=0$), получаем:

$ p = Ft = eEt $

Релятивистский импульс связан со скоростью следующим соотношением:

$ p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $

Приравняем два выражения для импульса:

$ eEt = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $

Теперь выразим скорость $v$ из этого уравнения. Возведем обе части в квадрат:

$ (eEt)^2 = \frac{m^2v^2}{1 - v^2/c^2} $

$ (eEt)^2 (1 - \frac{v^2}{c^2}) = m^2v^2 $

$ (eEt)^2 - \frac{(eEt)^2 v^2}{c^2} = m^2v^2 $

$ (eEt)^2 = m^2v^2 + \frac{(eEt)^2 v^2}{c^2} $

$ (eEt)^2 = v^2 (m^2 + \frac{(eEt)^2}{c^2}) $

$ v^2 = \frac{(eEt)^2}{m^2 + (eEt)^2/c^2} $

Умножим числитель и знаменатель на $c^2$ для более удобного вида:

$ v^2 = \frac{(eEtc)^2}{m^2c^2 + (eEt)^2} $

Извлекая квадратный корень, получаем искомую зависимость скорости от времени:

$ v(t) = \frac{eEtc}{\sqrt{m^2c^2 + (eEt)^2}} $

Это выражение можно также записать в виде, приведенном в задаче:

$ v(t) = c \frac{eEt}{\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2}} $

График этой зависимости начинается в точке (0, 0), так как $v(0) = 0$. При увеличении времени $t$ скорость растет. При $t \to \infty$, слагаемым $m^2c^2$ в знаменателе можно пренебречь по сравнению с $(eEt)^2$, и скорость асимптотически стремится к скорости света: $v \to \frac{eEtc}{\sqrt{(eEt)^2}} = c$. Таким образом, график представляет собой кривую, выходящую из начала координат и асимптотически приближающуюся к горизонтальной линии $v=c$, как показано на рисунке в условии задачи.

Ответ: Зависимость скорости от времени: $v(t) = c \frac{eEt}{\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2}}$. График этой зависимости представляет собой кривую, выходящую из начала координат и асимптотически приближающуюся к прямой $v=c$.

Теперь найдем время $\tau$, через которое скорость достигнет половины скорости света ($v=c/2$).

Подставим $v = c/2$ и $t = \tau$ в полученную формулу:

$ \frac{c}{2} = \frac{eE\tau c}{\sqrt{m^2c^2 + (eE\tau)^2}} $

Сократим $c$ в обеих частях:

$ \frac{1}{2} = \frac{eE\tau}{\sqrt{m^2c^2 + (eE\tau)^2}} $

Возведем в квадрат:

$ \frac{1}{4} = \frac{(eE\tau)^2}{m^2c^2 + (eE\tau)^2} $

$ m^2c^2 + (eE\tau)^2 = 4(eE\tau)^2 $

$ m^2c^2 = 3(eE\tau)^2 $

$ (eE\tau)^2 = \frac{m^2c^2}{3} $

Извлечем квадратный корень:

$ eE\tau = \frac{mc}{\sqrt{3}} $

Отсюда находим время $\tau$:

$ \tau = \frac{mc}{\sqrt{3}eE} $

Ответ: $\tau = \frac{mc}{\sqrt{3}eE}$.