Номер 39.3, страница 271 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 39. Световые кванты. Упражнения - номер 39.3, страница 271.

Условие.

39.3. При освещении поверхности некоторого металла фиолетовым светом с длиной волны $\lambda_1 = 0,40$ мкм выбитые светом электроны задерживаются запирающим напряжением $U_1 = 2,0$ В. Чему равно запирающее напряжение $U_2$ при освещении того же металла красным светом с длиной волны $\lambda_2 = 0,77$ мкм?

☑ $ U_2 = 0,51$ В.

Решение. Запирающее напряжение связано с максимальной кинетической энергией фотоэлектронов соотношением $W_k = eU$. Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта $hc/\lambda_1 = A + eU_1$, $hc/\lambda_2 = A + eU_2$. Отсюда

$U_2 = U_1 + \frac{hc}{e}\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) = 0,51$ (В).

Решение.

Дано:

Длина волны фиолетового света, $λ_1 = 0,40$ мкм = $0,40 \times 10^{-6}$ м.

Запирающее напряжение для фиолетового света, $U_1 = 2,0$ В.

Длина волны красного света, $λ_2 = 0,77$ мкм = $0,77 \times 10^{-6}$ м.

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \times 10^{-34}$ Дж·с.

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с.

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \times 10^{-19}$ Кл.

Найти:

$U_2$ — запирающее напряжение для красного света.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона $E_{ф}$, работу выхода электрона из металла $A$ и максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона $W_k$:

$E_{ф} = A + W_k$

Энергия фотона определяется его частотой $ν$ или длиной волны $λ$ как $E_{ф} = hν = \frac{hc}{λ}$.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с запирающим (задерживающим) напряжением $U$ соотношением $W_k = eU$.

Таким образом, уравнение Эйнштейна можно записать в виде: $\frac{hc}{λ} = A + eU$.

Составим систему из двух уравнений для двух случаев, описанных в задаче:

1. Для фиолетового света ($λ_1$, $U_1$):

$\frac{hc}{λ_1} = A + eU_1$

2. Для красного света ($λ_2$, $U_2$):

$\frac{hc}{λ_2} = A + eU_2$

Работа выхода $A$ зависит только от материала поверхности и в обоих случаях одинакова. Выразим работу выхода из первого уравнения:

$A = \frac{hc}{λ_1} - eU_1$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{hc}{λ_2} = (\frac{hc}{λ_1} - eU_1) + eU_2$

Выразим из полученного уравнения искомую величину $eU_2$:

$eU_2 = \frac{hc}{λ_2} - \frac{hc}{λ_1} + eU_1$

Разделим обе части на заряд электрона $e$, чтобы найти $U_2$:

$U_2 = \frac{hc}{eλ_2} - \frac{hc}{eλ_1} + U_1$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$U_2 = U_1 + \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{λ_2} - \frac{1}{λ_1} \right)$

Перед вычислением убедимся, что при освещении красным светом фотоэффект вообще возможен. Для этого энергия фотона красного света $E_{ф2}$ должна быть больше работы выхода $A$.

Найдем работу выхода из первого случая:

$A = \frac{6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{0,40 \times 10^{-6} \text{ м}} - 1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 2,0 \text{ В} \approx 4,97 \times 10^{-19} \text{ Дж} - 3,2 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 1,77 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

Найдем энергию фотона красного света:

$E_{ф2} = \frac{hc}{λ_2} = \frac{6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{0,77 \times 10^{-6} \text{ м}} \approx 2,58 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

Поскольку $E_{ф2} > A$ ($2,58 \times 10^{-19} \text{ Дж} > 1,77 \times 10^{-19} \text{ Дж}$), фотоэффект будет наблюдаться.

Подставим числовые значения в выведенную формулу для $U_2$:

$U_2 = 2,0 \text{ В} + \frac{6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \left( \frac{1}{0,77 \times 10^{-6} \text{ м}} - \frac{1}{0,40 \times 10^{-6} \text{ м}} \right)$

$U_2 = 2,0 + 1,243 \times 10^{-6} \left( \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{1}{0,77} - \frac{1}{0,40} \right) \right)$

$U_2 = 2,0 + 1,243 \left( \frac{0,40 - 0,77}{0,77 \times 0,40} \right)$

$U_2 = 2,0 + 1,243 \left( \frac{-0,37}{0,308} \right)$

$U_2 = 2,0 + 1,243 \times (-1,2013)$

$U_2 = 2,0 - 1,493 \approx 0,507 \text{ В}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $0,51$ В.

Ответ: $U_2 = 0,51$ В.