Номер 154, страница 274 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Физика, 10-11 класс Задачник, авторы: Гельфгат Илья Маркович, Генденштейн Лев Элевич, Кирик Леонид Анатольевич, издательство Илекса, Москва, 2008, красного цвета

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.

Тип: Задачник

Издательство: Илекса

Год издания: 2008 - 2025

Уровень обучения: профильный

Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде

ISBN: 978-5-89237-252-7

Популярные ГДЗ в 10 классе

Олимпиадные задачи. 39. Световые кванты. Квантовая физика - номер 154, страница 274.

№154 (с. 274)
Условие. №154 (с. 274)
скриншот условия
Физика, 10-11 класс Задачник, авторы: Гельфгат Илья Маркович, Генденштейн Лев Элевич, Кирик Леонид Анатольевич, издательство Илекса, Москва, 2008, красного цвета, страница 274, номер 154, Условие

O54. Длина волны рентгеновского излучения после комптоновского рассеяния (см. задачу О53) увеличилась с $\lambda_1 = 2,0$ пм до $\lambda_2 = 2,4$ пм. Какова кинетическая энергия $W_k$ вылетающих электронов (выразите ее в МэВ) и их скорость $\text{v}$? Найдите также угол рассеяния $\theta$ рентгеновского излучения и угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

☑ $W_k = 0,10$ МэВ, $v = 1,6 \cdot 10^8$ м/с, $\theta = 33^\circ$, $\alpha = 58^\circ$.

Решение. Из полученного в задаче O53 результата следует: $\theta = \arccos \left(1 - \frac{mc(\lambda_2 - \lambda_1)}{h}\right) = 33^\circ$. Кинетическая энергия электрона равна энергии, потерянной фотоном: $W_k = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = 1,66 \cdot 10^{4}$ (Дж) $= 0,10$ (МэВ).

Полная энергия электрона $W = W_k + mc^2 = 0,61$ МэВ. Из соотношения $W = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ находим $v = c\sqrt{1 - \left(\frac{mc^2}{W}\right)^2} = 0,55c = 1,6 \cdot 10^8$ (м/с).

Применяя теорему синусов к треугольнику импульсов (см. рисунок), получаем $\sin \alpha = \frac{p \sin \theta}{p_e} = \frac{hc^2 \sin \theta}{\lambda_2 vW} = 0,85$ и $\alpha = 58^\circ$.

Решение. №154 (с. 274)

Дано:

Начальная длина волны рентгеновского излучения: $ \lambda_1 = 2,0 \, \text{пм} $

Конечная длина волны рентгеновского излучения: $ \lambda_2 = 2,4 \, \text{пм} $

Масса покоя электрона: $ m_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг} $

Скорость света в вакууме: $ c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $

Постоянная Планка: $ h = 6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} $

Элементарный заряд: $ e = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл} $

Перевод в СИ:

$ \lambda_1 = 2,0 \cdot 10^{-12} \, \text{м} $

$ \lambda_2 = 2,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м} $

Энергия покоя электрона: $ E_0 = m_e c^2 \approx 8,19 \cdot 10^{-14} \, \text{Дж} \approx 0,511 \, \text{МэВ} $

Найти:

$ W_k $ — кинетическую энергию вылетающих электронов (в МэВ).

$ v $ — скорость вылетающих электронов.

$ \theta $ — угол рассеяния рентгеновского излучения.

$ \alpha $ — угол между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

Решение:

Это задача на эффект Комптона, который описывает рассеяние фотонов на свободных (или слабосвязанных) электронах.

1. Кинетическая энергия $W_k$ вылетающих электронов

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия, которую приобретает электрон, равна энергии, потерянной фотоном в процессе рассеяния.

Энергия фотона до рассеяния: $ E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} $.

Энергия фотона после рассеяния: $ E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} $.

Кинетическая энергия электрона: $ W_k = E_1 - E_2 = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = hc \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} $.

Подставим числовые значения:

$ W_k = (6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}) \frac{2,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м} - 2,0 \cdot 10^{-12} \, \text{м}}{(2,0 \cdot 10^{-12} \, \text{м}) \cdot (2,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м})} $

$ W_k = (1,9878 \cdot 10^{-25} \, \text{Дж} \cdot \text{м}) \frac{0,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м}}{4,8 \cdot 10^{-24} \, \text{м}^2} = 1,6565 \cdot 10^{-14} \, \text{Дж} $.

Выразим энергию в мегаэлектронвольтах (МэВ), зная, что $ 1 \, \text{МэВ} = 1,602 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж} $:

$ W_k = \frac{1,6565 \cdot 10^{-14} \, \text{Дж}}{1,602 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж/МэВ}} \approx 0,1034 \, \text{МэВ} $.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $ W_k \approx 0,10 \, \text{МэВ} $.

Ответ: $ W_k \approx 0,10 \, \text{МэВ} $.

2. Угол рассеяния $\theta$ рентгеновского излучения

Угол рассеяния фотона определяется формулой Комптона:

$ \Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta) = \lambda_C (1 - \cos\theta) $, где $ \lambda_C $ — комптоновская длина волны электрона.

$ \lambda_C = \frac{h}{m_e c} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}{(9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с})} \approx 2,426 \cdot 10^{-12} \, \text{м} = 2,426 \, \text{пм} $.

Изменение длины волны: $ \Delta\lambda = 2,4 \, \text{пм} - 2,0 \, \text{пм} = 0,4 \, \text{пм} $.

Выразим $ \cos\theta $: $ \cos\theta = 1 - \frac{\Delta\lambda}{\lambda_C} $.

$ \cos\theta = 1 - \frac{0,4 \, \text{пм}}{2,426 \, \text{пм}} \approx 1 - 0,1649 = 0,8351 $.

$ \theta = \arccos(0,8351) \approx 33,37^\circ $.

Округляя, получаем $ \theta \approx 33^\circ $.

Ответ: $ \theta \approx 33^\circ $.

3. Скорость $v$ вылетающих электронов

Скорость электрона можно найти из релятивистской формулы для полной энергии. Полная энергия электрона $ W $ равна сумме его энергии покоя $ E_0 = m_e c^2 $ и кинетической энергии $ W_k $.

$ W = W_k + m_e c^2 = 0,1034 \, \text{МэВ} + 0,511 \, \text{МэВ} = 0,6144 \, \text{МэВ} $.

Также полная энергия связана со скоростью соотношением: $ W = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $.

Выразим отсюда скорость $ v $:

$ \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{m_e c^2}{W} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_e c^2}{W}\right)^2 \implies v = c \sqrt{1 - \left(\frac{m_e c^2}{W}\right)^2} $.

$ v = c \sqrt{1 - \left(\frac{0,511 \, \text{МэВ}}{0,6144 \, \text{МэВ}}\right)^2} \approx c \sqrt{1 - (0,8317)^2} \approx c \sqrt{1 - 0,6917} = c \sqrt{0,3083} \approx 0,555 c $.

$ v \approx 0,555 \cdot (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}) \approx 1,665 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $.

Округляя, получаем $ v \approx 1,6 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $.

Ответ: $ v \approx 1,6 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $.

4. Угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения

Угол вылета электрона $ \alpha $ можно найти из закона сохранения импульса. Рассматривая компоненты импульса вдоль и перпендикулярно направлению падающего фотона, получаем систему уравнений:

1) $ \frac{h}{\lambda_1} = \frac{h}{\lambda_2}\cos\theta + p_e \cos\alpha $ (сохранение импульса по оси X)

2) $ 0 = \frac{h}{\lambda_2}\sin\theta - p_e \sin\alpha $ (сохранение импульса по оси Y)

где $ p_e $ — импульс электрона.

Из этих уравнений можно вывести формулу для $ \tan\alpha $:

$ \tan\alpha = \frac{\lambda_1 \sin\theta}{\lambda_2 - \lambda_1 \cos\theta} $.

Подставим значения, используя более точное значение $ \theta = 33,37^\circ $:

$ \tan\alpha = \frac{2,0 \, \text{пм} \cdot \sin(33,37^\circ)}{2,4 \, \text{пм} - 2,0 \, \text{пм} \cdot \cos(33,37^\circ)} = \frac{2,0 \cdot 0,550}{2,4 - 2,0 \cdot 0,835} = \frac{1,1}{2,4 - 1,67} = \frac{1,1}{0,73} \approx 1,507 $.

$ \alpha = \arctan(1,507) \approx 56,4^\circ $.

Округляя, получаем $ \alpha \approx 56^\circ $ (ответ $58^\circ$ в задачнике, вероятно, содержит ошибку, возникшую из-за округления промежуточных вычислений).

Ответ: $ \alpha \approx 56^\circ $.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 154 расположенного на странице 274 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №154 (с. 274), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.