Номер 154, страница 274 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 39. Световые кванты. Олимпиадные задачи - номер 154, страница 274.

Условие.

O54. Длина волны рентгеновского излучения после комптоновского рассеяния (см. задачу О53) увеличилась с $\lambda_1 = 2,0$ пм до $\lambda_2 = 2,4$ пм. Какова кинетическая энергия $W_k$ вылетающих электронов (выразите ее в МэВ) и их скорость $\text{v}$? Найдите также угол рассеяния $\theta$ рентгеновского излучения и угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

☑ $W_k = 0,10$ МэВ, $v = 1,6 \cdot 10^8$ м/с, $\theta = 33^\circ$, $\alpha = 58^\circ$.

Решение. Из полученного в задаче O53 результата следует: $\theta = \arccos \left(1 - \frac{mc(\lambda_2 - \lambda_1)}{h}\right) = 33^\circ$. Кинетическая энергия электрона равна энергии, потерянной фотоном: $W_k = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = 1,66 \cdot 10^{4}$ (Дж) $= 0,10$ (МэВ).

Полная энергия электрона $W = W_k + mc^2 = 0,61$ МэВ. Из соотношения $W = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ находим $v = c\sqrt{1 - \left(\frac{mc^2}{W}\right)^2} = 0,55c = 1,6 \cdot 10^8$ (м/с).

Применяя теорему синусов к треугольнику импульсов (см. рисунок), получаем $\sin \alpha = \frac{p \sin \theta}{p_e} = \frac{hc^2 \sin \theta}{\lambda_2 vW} = 0,85$ и $\alpha = 58^\circ$.

Решение.

Дано:

Начальная длина волны рентгеновского излучения: $ \lambda_1 = 2,0 \, \text{пм} $

Конечная длина волны рентгеновского излучения: $ \lambda_2 = 2,4 \, \text{пм} $

Масса покоя электрона: $ m_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг} $

Скорость света в вакууме: $ c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $

Постоянная Планка: $ h = 6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} $

Элементарный заряд: $ e = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл} $

Перевод в СИ:

$ \lambda_1 = 2,0 \cdot 10^{-12} \, \text{м} $

$ \lambda_2 = 2,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м} $

Энергия покоя электрона: $ E_0 = m_e c^2 \approx 8,19 \cdot 10^{-14} \, \text{Дж} \approx 0,511 \, \text{МэВ} $

Найти:

$ W_k $ — кинетическую энергию вылетающих электронов (в МэВ).

$ v $ — скорость вылетающих электронов.

$ \theta $ — угол рассеяния рентгеновского излучения.

$ \alpha $ — угол между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

Решение:

Это задача на эффект Комптона, который описывает рассеяние фотонов на свободных (или слабосвязанных) электронах.

1. Кинетическая энергия $W_k$ вылетающих электронов

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия, которую приобретает электрон, равна энергии, потерянной фотоном в процессе рассеяния.

Энергия фотона до рассеяния: $ E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} $.

Энергия фотона после рассеяния: $ E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} $.

Кинетическая энергия электрона: $ W_k = E_1 - E_2 = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = hc \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} $.

Подставим числовые значения:

$ W_k = (6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}) \frac{2,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м} - 2,0 \cdot 10^{-12} \, \text{м}}{(2,0 \cdot 10^{-12} \, \text{м}) \cdot (2,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м})} $

$ W_k = (1,9878 \cdot 10^{-25} \, \text{Дж} \cdot \text{м}) \frac{0,4 \cdot 10^{-12} \, \text{м}}{4,8 \cdot 10^{-24} \, \text{м}^2} = 1,6565 \cdot 10^{-14} \, \text{Дж} $.

Выразим энергию в мегаэлектронвольтах (МэВ), зная, что $ 1 \, \text{МэВ} = 1,602 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж} $:

$ W_k = \frac{1,6565 \cdot 10^{-14} \, \text{Дж}}{1,602 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж/МэВ}} \approx 0,1034 \, \text{МэВ} $.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $ W_k \approx 0,10 \, \text{МэВ} $.

Ответ: $ W_k \approx 0,10 \, \text{МэВ} $.

2. Угол рассеяния $\theta$ рентгеновского излучения

Угол рассеяния фотона определяется формулой Комптона:

$ \Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta) = \lambda_C (1 - \cos\theta) $, где $ \lambda_C $ — комптоновская длина волны электрона.

$ \lambda_C = \frac{h}{m_e c} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}{(9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с})} \approx 2,426 \cdot 10^{-12} \, \text{м} = 2,426 \, \text{пм} $.

Изменение длины волны: $ \Delta\lambda = 2,4 \, \text{пм} - 2,0 \, \text{пм} = 0,4 \, \text{пм} $.

Выразим $ \cos\theta $: $ \cos\theta = 1 - \frac{\Delta\lambda}{\lambda_C} $.

$ \cos\theta = 1 - \frac{0,4 \, \text{пм}}{2,426 \, \text{пм}} \approx 1 - 0,1649 = 0,8351 $.

$ \theta = \arccos(0,8351) \approx 33,37^\circ $.

Округляя, получаем $ \theta \approx 33^\circ $.

Ответ: $ \theta \approx 33^\circ $.

3. Скорость $v$ вылетающих электронов

Скорость электрона можно найти из релятивистской формулы для полной энергии. Полная энергия электрона $ W $ равна сумме его энергии покоя $ E_0 = m_e c^2 $ и кинетической энергии $ W_k $.

$ W = W_k + m_e c^2 = 0,1034 \, \text{МэВ} + 0,511 \, \text{МэВ} = 0,6144 \, \text{МэВ} $.

Также полная энергия связана со скоростью соотношением: $ W = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $.

Выразим отсюда скорость $ v $:

$ \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{m_e c^2}{W} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_e c^2}{W}\right)^2 \implies v = c \sqrt{1 - \left(\frac{m_e c^2}{W}\right)^2} $.

$ v = c \sqrt{1 - \left(\frac{0,511 \, \text{МэВ}}{0,6144 \, \text{МэВ}}\right)^2} \approx c \sqrt{1 - (0,8317)^2} \approx c \sqrt{1 - 0,6917} = c \sqrt{0,3083} \approx 0,555 c $.

$ v \approx 0,555 \cdot (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}) \approx 1,665 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $.

Округляя, получаем $ v \approx 1,6 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $.

Ответ: $ v \approx 1,6 \cdot 10^8 \, \text{м/с} $.

4. Угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения

Угол вылета электрона $ \alpha $ можно найти из закона сохранения импульса. Рассматривая компоненты импульса вдоль и перпендикулярно направлению падающего фотона, получаем систему уравнений:

1) $ \frac{h}{\lambda_1} = \frac{h}{\lambda_2}\cos\theta + p_e \cos\alpha $ (сохранение импульса по оси X)

2) $ 0 = \frac{h}{\lambda_2}\sin\theta - p_e \sin\alpha $ (сохранение импульса по оси Y)

где $ p_e $ — импульс электрона.

Из этих уравнений можно вывести формулу для $ \tan\alpha $:

$ \tan\alpha = \frac{\lambda_1 \sin\theta}{\lambda_2 - \lambda_1 \cos\theta} $.

Подставим значения, используя более точное значение $ \theta = 33,37^\circ $:

$ \tan\alpha = \frac{2,0 \, \text{пм} \cdot \sin(33,37^\circ)}{2,4 \, \text{пм} - 2,0 \, \text{пм} \cdot \cos(33,37^\circ)} = \frac{2,0 \cdot 0,550}{2,4 - 2,0 \cdot 0,835} = \frac{1,1}{2,4 - 1,67} = \frac{1,1}{0,73} \approx 1,507 $.

$ \alpha = \arctan(1,507) \approx 56,4^\circ $.

Округляя, получаем $ \alpha \approx 56^\circ $ (ответ $58^\circ$ в задачнике, вероятно, содержит ошибку, возникшую из-за округления промежуточных вычислений).

Ответ: $ \alpha \approx 56^\circ $.