Номер 153, страница 273 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 39. Световые кванты. Квантовая физика - номер 153, страница 273.

Условие.

О53. Эффект Комптона. При взаимодействии с веществом рентгеновское излучение с длиной волны $\lambda$ рассеивается. При этом длина волны излучения, отклонившегося от первоначального направления распространения на угол $\theta$, увеличивается на $\Delta\lambda$. Выразите величину $\Delta\lambda$ через угол $\theta$, рассматривая рассеяние как результат столкновений рентгеновских фотонов с неподвижными свободными электронами. Учтите, что вследствие таких столкновений электроны приобретают скорости, сравнимые со скоростью света.

☑ $\Delta\lambda = \frac{2h}{mc}\sin^2\frac{\theta}{2}$, где $\text{m}$ — масса покоя электрона.

Решение. Воспользуемся законами сохранения энергии и импульса: $mc^2 + W_0 = W + W_e$, $\vec{p_0} = \vec{p} + \vec{p_e}$. Здесь $\vec{p_0}$ и $\vec{p}$ — начальный и конечный импульсы фотона, $\vec{p_e}$ — импульс, переданный электрону; $W_0 = \frac{hc}{\lambda}$ и $W = \frac{hc}{\lambda + \Delta\lambda}$ — энергия фотона до и после рассеяния; $W_e = c\sqrt{m^2c^2 + p_e^2}$ — конечная энергия электрона, $mc^2$ — его энергия покоя.

Применяя теорему косинусов (см. рисунок), получаем $p_e^2 = p_0^2 + p^2 - 2p_0p\cos\theta$. Подставляя это выражение в формулу закона сохранения энергии и учитывая, что $p_0 = \frac{h}{\lambda}$,

$p = \frac{h}{\lambda+\Delta\lambda}$, находим $\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta) = \frac{2h}{mc}\sin^2\frac{\theta}{2}$. Заметим, что значение $\Delta\lambda$ не зависит от длины волны падающего рентгеновского излучения.

Решение.

Дано:

Рассматривается столкновение рентгеновского фотона с неподвижным свободным электроном (эффект Комптона).
Начальная длина волны фотона: $\lambda$.
Масса покоя электрона: $m$.
Скорость света в вакууме: $c$.
Постоянная Планка: $h$.
Угол, на который отклоняется фотон после рассеяния: $\theta$.

Найти:

Изменение длины волны фотона $\Delta\lambda$.

Решение:

Данный процесс представляет собой упругое столкновение фотона и электрона. Для такой системы должны выполняться законы сохранения энергии и импульса. Поскольку электрон после столкновения может приобрести скорость, сравнимую со скоростью света, необходимо использовать релятивистские формулы для его энергии и импульса.

Параметры системы до столкновения:
Энергия фотона: $E_0 = \frac{hc}{\lambda}$
Импульс фотона: $p_0 = \frac{h}{\lambda}$
Энергия покоящегося электрона: $E_{e,0} = mc^2$
Импульс электрона: $p_{e,0} = 0$

Параметры системы после столкновения:
Энергия рассеянного фотона: $E' = \frac{hc}{\lambda'}$, где $\lambda'$ – длина волны после рассеяния.
Импульс рассеянного фотона: $p' = \frac{h}{\lambda'}$
Полная релятивистская энергия электрона отдачи: $E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (mc^2)^2}$
Импульс электрона отдачи: $p_e$

1. Закон сохранения энергии:
Суммарная энергия до столкновения равна суммарной энергии после столкновения.
$E_0 + E_{e,0} = E' + E_e$
$\frac{hc}{\lambda} + mc^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (mc^2)^2}$
Выразим член, содержащий импульс электрона, и возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$\sqrt{(p_e c)^2 + (mc^2)^2} = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}) + mc^2$
$(p_e c)^2 + (mc^2)^2 = \left( hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}) + mc^2 \right)^2$
$(p_e c)^2 + (mc^2)^2 = (hc)^2(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})^2 + 2hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})mc^2 + (mc^2)^2$
Сократим $(mc^2)^2$ и разделим все уравнение на $c^2$:
$p_e^2 = h^2(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})^2 + 2hmc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})$ (1)

2. Закон сохранения импульса:
Суммарный вектор импульса до столкновения равен суммарному вектору импульса после столкновения.
$\vec{p_0} = \vec{p'} + \vec{p_e}$
Отсюда выразим вектор импульса электрона: $\vec{p_e} = \vec{p_0} - \vec{p'}$.
Найдем квадрат модуля импульса электрона, используя теорему косинусов (или скалярно умножив вектор на себя):
$p_e^2 = (\vec{p_0} - \vec{p'}) \cdot (\vec{p_0} - \vec{p'}) = p_0^2 + p'^2 - 2 \vec{p_0} \cdot \vec{p'} = p_0^2 + p'^2 - 2p_0 p' \cos\theta$
Подставим значения модулей импульсов фотона $p_0 = h/\lambda$ и $p' = h/\lambda'$:
$p_e^2 = (\frac{h}{\lambda})^2 + (\frac{h}{\lambda'})^2 - 2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$ (2)

3. Нахождение $\Delta\lambda$:
Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как обе они равны $p_e^2$.
$h^2(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})^2 + 2hmc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}) = (\frac{h}{\lambda})^2 + (\frac{h}{\lambda'})^2 - 2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$
Раскроем квадрат разности в левой части:
$h^2(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}) + 2hmc(\frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'}) = \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda'^2} - 2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$
Сократим одинаковые слагаемые $\frac{h^2}{\lambda^2}$ и $\frac{h^2}{\lambda'^2}$ с обеих сторон:
$-\frac{2h^2}{\lambda\lambda'} + 2hmc\frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'} = -2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$
Разделим обе части на $2h$ и умножим на $\lambda\lambda'$:
$-h + mc(\lambda' - \lambda) = -h\cos\theta$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $(\lambda' - \lambda)$:
$mc(\lambda' - \lambda) = h - h\cos\theta = h(1 - \cos\theta)$
По определению, $\Delta\lambda = \lambda' - \lambda$.
$\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)$

Для приведения формулы к стандартному виду воспользуемся тригонометрической формулой половинного угла: $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$.
Подставив это выражение, получаем окончательную формулу для комптоновского сдвига:
$\Delta\lambda = \frac{2h}{mc}\sin^2\frac{\theta}{2}$

Ответ: $\Delta\lambda = \frac{2h}{mc}\sin^2\frac{\theta}{2}$