Номер 39.1, страница 271 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 39. Световые кванты. Упражнения - номер 39.1, страница 271.

Условие.

39.1. Под каким напряжением $\text{U}$ работает рентгеновская трубка, если самое «жесткое» излучение в ее спектре имеет длину волны $\lambda_{\min} = 3,0 \cdot 10^{1}$ м?

☑ $U = 41$ кВ.

Решение. Энергия излучаемого фотона $hv = hc/\lambda$ не может превышать полученной электроном при разгоне кинетической энергии $W_k = eU$.

Поэтому $\frac{hc}{\lambda_{\min}} = eU$ , откуда $U = \frac{hc}{e\lambda_{\min}} = 41$ (кВ).

Решение.

Дано:

Минимальная длина волны рентгеновского излучения: $\lambda_{min} = 3,0 \cdot 10^{-11}$ м

Постоянная Планка: $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж$\cdot$с

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Элементарный заряд: $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Найти:

Напряжение $U$.

Решение:

В рентгеновской трубке электроны ускоряются электрическим полем с напряжением $U$. При этом они приобретают кинетическую энергию $W_k$, которая равна работе электрического поля:

$W_k = eU$

где $e$ — это элементарный заряд.

При резком торможении электронов об анод трубки их кинетическая энергия превращается в энергию рентгеновских фотонов. Самое «жесткое» излучение (излучение с максимальной энергией и, следовательно, с минимальной длиной волны $\lambda_{min}$) возникает в том случае, когда вся кинетическая энергия одного электрона полностью переходит в энергию одного испущенного фотона.

Энергия фотона $E_{ф}$ определяется формулой Планка:

$E_{ф} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, $\nu$ — частота излучения, $c$ — скорость света, $\lambda$ — длина волны.

Согласно закону сохранения энергии, приравниваем максимальную энергию фотона (соответствующую $\lambda_{min}$) к кинетической энергии электрона:

$E_{ф_{max}} = W_k$

$\frac{hc}{\lambda_{min}} = eU$

Из этого соотношения выразим искомое напряжение $U$:

$U = \frac{hc}{e\lambda_{min}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$U = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 3,0 \cdot 10^{-11} \text{ м}} \approx \frac{19,878 \cdot 10^{-26}}{4,806 \cdot 10^{-30}} \text{ В}$

$U \approx 4,136 \cdot 10^4 \text{ В}$

Переведем результат в киловольты, зная, что 1 кВ = $10^3$ В:

$U \approx 41,36 \text{ кВ}$

Округляя до целых, получаем $U \approx 41$ кВ.

Ответ: Напряжение, под которым работает рентгеновская трубка, составляет приблизительно $41$ кВ.