Номер 149, страница 268 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 38. Элементы теории относительности. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 149, страница 268.

Условие.

О49. Какое расстояние $\text{s}$ должен пройти электрон (см. задачу О48), чтобы приобрести скорость $\text{v}$? Запишите формулу зависимости $s(t)$.

Решение. Согласно закону сохранения энергии$\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = mc^2 + A$, где $A = Fs = eEs$ — работа электрического поля.

Отсюда $s = \frac{mc^2}{eE} \left( \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1 \right)$. Подставляя в это выражение формулу для $\text{v}$ (см. задачу О48), получаем$s = \frac{c}{eE} \left(\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2} - mc\right)$.

Решение.

Дано:

$m$ - масса покоя электрона,

$e$ - элементарный заряд (модуль заряда электрона),

$c$ - скорость света в вакууме,

$E$ - напряженность однородного электрического поля,

$v_0 = 0$ - начальная скорость электрона.

Найти:

1. $s(v)$ - расстояние как функция скорости.

2. $s(t)$ - расстояние как функция времени.

Решение

Какое расстояние s должен пройти электрон, чтобы приобрести скорость v?

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении энергии в релятивистском случае. Работа, совершаемая электрическим полем над электроном, идет на увеличение его полной энергии. Предполагается, что начальная скорость электрона равна нулю, следовательно, его начальная энергия равна энергии покоя $E_0 = mc^2$.

Полная энергия электрона, движущегося со скоростью $v$, определяется формулой:

$E_{полн} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Работа $A$, совершаемая силой $F = eE$ однородного электрического поля на пути $s$, равна:

$A = F \cdot s = eEs$

Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии равно совершенной работе:

$E_{полн} - E_0 = A$

Подставим выражения для энергий и работы в это уравнение:

$\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 = eEs$

Выразим из этого уравнения расстояние $s$:

$s = \frac{1}{eE} \left( \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 \right)$

Вынесем $mc^2$ за скобки, чтобы получить выражение, как в задачнике:

$s = \frac{mc^2}{eE} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$

Ответ: $s = \frac{mc^2}{eE} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$

Запишите формулу зависимости s(t).

Чтобы получить зависимость $s(t)$, необходимо найти, как скорость $v$ зависит от времени $t$, а затем подставить это выражение в полученную выше формулу для $s$. Зависимость $v(t)$ найдем из релятивистского второго закона Ньютона:

$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$

где $\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - релятивистский импульс, а $\vec{F} = e\vec{E}$ - сила, действующая на электрон.

Поскольку сила постоянна и направлена вдоль одной оси, движение будет прямолинейным. В скалярной форме уравнение выглядит так:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right) = eE$

Интегрируя обе части по времени от $0$ до $t$ (учитывая, что при $t=0$, $v=0$ и $p=0$), получаем:

$\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = eEt$

Теперь выразим из этого уравнения скорость $v$. Для этого возведем обе части в квадрат:

$\frac{m^2v^2}{1 - v^2/c^2} = (eEt)^2$

$m^2v^2 = (eEt)^2(1 - v^2/c^2)$

$m^2v^2 + \frac{(eEt)^2}{c^2}v^2 = (eEt)^2$

$v^2\left(m^2 + \frac{e^2E^2t^2}{c^2}\right) = e^2E^2t^2$

$v^2 = \frac{e^2E^2t^2c^2}{m^2c^2 + e^2E^2t^2} \implies v(t) = \frac{eEtc}{\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2}}$

Теперь необходимо подставить это выражение для $v$ в формулу для $s$. Удобнее сначала найти релятивистский фактор:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{e^2E^2t^2}{m^2c^2 + e^2E^2t^2} = \frac{m^2c^2 + e^2E^2t^2 - e^2E^2t^2}{m^2c^2 + e^2E^2t^2} = \frac{m^2c^2}{m^2c^2 + e^2E^2t^2}$

Тогда:

$\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \sqrt{\frac{m^2c^2 + e^2E^2t^2}{m^2c^2}} = \frac{\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2}}{mc}$

Подставляем это в формулу для $s$:

$s = \frac{mc^2}{eE} \left( \frac{\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2}}{mc} - 1 \right)$

Упрощая, получаем окончательное выражение для $s(t)$:

$s = \frac{mc^2}{eE} \cdot \frac{\sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2} - mc}{mc} = \frac{c}{eE} \left( \sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2} - mc \right)$

Ответ: $s(t) = \frac{c}{eE} \left( \sqrt{m^2c^2 + e^2E^2t^2} - mc \right)$