Номер 147, страница 264 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 37. Геометрическая оптика. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 147, страница 264.

Условие.

О47. Правильно ли утверждение, что лупа «приближает» к глазу рассматриваемый предмет? Как связано фокусное расстояние лупы с коэффициентом увеличения, указанным на оправе (например, «$\times 4$»)?

Решение. Лупа представляет собой короткофокусную собирающую линзу. Ее фокусное расстояние $\text{F}$ меньше расстояния наилучшего зрения $d_0$. При правильном использовании лупы предмет располагают вблизи ее фокальной плоскости. Пусть точка $\text{A}$ расположена в этой плоскости.

Тогда вышедшие из точки $\text{A}$ лучи после прохождения через лупу образуют параллельный пучок (см. рис. $\text{a}$). Благодаря этому глаз без напряжения фокусирует на сетчатке изображение точки $\text{A}$. Таким образом, говорить о «приближении» предмета к глазу неверно: в рассматриваемом случае изображение, полученное с помощью лупы, находится бесконечно далеко, зато и линейное увеличение лупы стремится к бесконечности.

Однако в конечном счете важен размер не этого изображения, а размер изображения на сетчатке глаза. Он же определяется углом $\varphi$, под которым виден предмет. Для невооруженного (и ненапряженного) глаза этот угол не превышает величину $\varphi_0 = h/d_0$ (см. рис. $\text{б}$), а при использовании лупы (см. рис. $\text{a}$) $\varphi = h/F$ (мы считаем углы $\varphi$ и $\varphi_0$ малыми). Угловое увеличение лупы $\varphi/\varphi_0 = d_0/F > 1$. Именно эту величину и указывают на оправе лупы, поэтому надпись «$\times 4$» соответствует $F = d_0/4 \approx 6$ см.

Решение.

Правильно ли утверждение, что лупа «приближает» к глазу рассматриваемый предмет?

Нет, это утверждение неверно. Лупа не «приближает» предмет к глазу в физическом смысле. Принцип действия лупы заключается в увеличении углового размера предмета, а не в уменьшении расстояния до него.

При правильном использовании лупы рассматриваемый предмет помещают в ее фокальную плоскость (или очень близко к ней). Лупа, являясь собирающей линзой, преобразует расходящиеся лучи света от каждой точки предмета в параллельные пучки. Когда эти параллельные пучки попадают в глаз, хрусталик (в расслабленном состоянии) фокусирует их на сетчатке, создавая четкое изображение. При этом мнимое изображение, создаваемое лупой, находится на бесконечности. Таким образом, лупа не создает действительное изображение предмета ближе к глазу, а формирует мнимое изображение на бесконечном удалении.

Эффект увеличения достигается за счет того, что угол зрения $\phi$, под которым виден предмет через лупу, становится значительно больше, чем максимальный угол зрения $\phi_0$, под которым тот же предмет можно рассмотреть невооруженным глазом (расположив его на расстоянии наилучшего зрения). Мозг интерпретирует увеличение изображения на сетчатке как увеличение самого предмета.

Ответ: Утверждение неверно. Лупа увеличивает не линейный размер предмета и не «приближает» его, а создает мнимое изображение на бесконечности, увеличивая угол зрения, под которым виден предмет.

Как связано фокусное расстояние лупы с коэффициентом увеличения, указанным на оправе (например, «×4»)?

Коэффициент увеличения (кратность), указанный на оправе лупы, — это ее угловое увеличение $\Gamma$. Оно показывает, во сколько раз угол зрения $\phi$, под которым виден предмет через лупу, больше угла зрения $\phi_0$, под которым тот же предмет виден невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения $d_0$ (стандартно принимается равным 25 см).

Угол зрения при наблюдении невооруженным глазом с расстояния $d_0$ для малых углов определяется как $\phi_0 \approx \frac{h}{d_0}$, где $h$ — линейный размер предмета.

При наблюдении через лупу предмет располагают в ее фокальной плоскости. Тогда угол зрения, под которым видно изображение, равен $\phi \approx \frac{h}{F}$, где $F$ — фокусное расстояние лупы.

Угловое увеличение $\Gamma$ равно отношению этих углов:

$\Gamma = \frac{\phi}{\phi_0} = \frac{h/F}{h/d_0} = \frac{d_0}{F}$

Коэффициент увеличения $K$, указанный на оправе, и есть это угловое увеличение, то есть $K = \Gamma$. Отсюда получаем связь между фокусным расстоянием и коэффициентом увеличения:

$F = \frac{d_0}{K}$

Рассчитаем фокусное расстояние для лупы с увеличением «×4».

Дано:

Коэффициент увеличения $K = 4$
Расстояние наилучшего зрения $d_0 = 25$ см

$d_0 = 0.25$ м

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Фокусное расстояние лупы найдем по формуле:

$F = \frac{d_0}{K}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{25 \text{ см}}{4} = 6.25 \text{ см} = 0.0625 \text{ м}$

Ответ: Фокусное расстояние лупы $F$ обратно пропорционально ее коэффициенту увеличения $K$ и определяется формулой $F = d_0/K$, где $d_0$ — расстояние наилучшего зрения (принято считать $d_0 \approx 25$ см). Для лупы с маркировкой «×4» фокусное расстояние составляет 6.25 см.