Номер 146, страница 263 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 37. Геометрическая оптика. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 146, страница 263.

Условие.

О46. Объектив состоит из двух тонких линз, расстояние между которыми $l = 15$ см. Фокусные расстояния линз $F_1 = 20$ см, $F_2 = 0$ см. С помощью этого объектива, обращенного собирающей линзой к Солнцу, получают на экране изображение Солнца. С помощью какой одной линзы можно получить изображение Солнца такого же размера?

☑ Надо взять собирающую линзу с фокусным расстоянием 40 см.

Решение. Собирающая линза дает изображение Солнца диаметром $\beta F_1$ ($\beta$ – угловой размер Солнца) в своей фокальной плоскости, т. е. за рассеивающей линзой на расстоянии $F_1 - l$ от нее. Это изображение является «мнимым» предметом для рассеивающей линзы, которая дает действительное изображение на расстоянии $f = \frac{F_2 (F_1 - l)}{F_1 + F_2 - l}$.

Диаметр изображения $\beta F_1 \frac{f}{F_1 - l}$. Приравнивая его $\beta F$, находим фокусное расстояние необходимой линзы $F = \frac{F_1 F_2}{F_1 + F_2 - l} = 40$ (см).

Решение.

Дано:

$l = 15$ см

$F_1 = 20$ см

$F_2 = -10$ см

$l = 0.15$ м

$F_1 = 0.20$ м

$F_2 = -0.10$ м

Найти:

$F$ — фокусное расстояние одиночной линзы, которая даст изображение Солнца такого же размера.

Решение:

Размер изображения очень удаленного объекта (например, Солнца) определяется угловым размером объекта $\beta$ и фокусным расстоянием оптической системы $F$. Для одиночной тонкой линзы размер изображения, получаемого в фокальной плоскости, равен $h = \beta F$. Для сложной системы, состоящей из нескольких линз, размер изображения будет $h = \beta F_{эфф}$, где $F_{эфф}$ — эквивалентное фокусное расстояние системы.

Чтобы найти фокусное расстояние одиночной линзы, которая даст изображение такого же размера, нужно найти эквивалентное фокусное расстояние данной системы из двух линз.

Оптическая сила системы из двух тонких линз, расположенных на расстоянии $l$ друг от друга, определяется формулой:

$D_{эфф} = D_1 + D_2 - l D_1 D_2$

где $D = 1/F$ — оптическая сила линзы. Переходя к фокусным расстояниям, получаем:

$ \frac{1}{F_{эфф}} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} - \frac{l}{F_1 F_2} $

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{1}{F_{эфф}} = \frac{F_2 + F_1 - l}{F_1 F_2} $

Отсюда эквивалентное фокусное расстояние системы равно:

$ F_{эфф} = \frac{F_1 F_2}{F_1 + F_2 - l} $

Подставим числовые значения из условия задачи. Учитываем, что фокусное расстояние собирающей линзы положительно ($F_1 = 20$ см), а рассеивающей — отрицательно ($F_2 = -10$ см).

$ F = F_{эфф} = \frac{20 \text{ см} \cdot (-10 \text{ см})}{20 \text{ см} + (-10 \text{ см}) - 15 \text{ см}} = \frac{-200 \text{ см}^2}{20 \text{ см} - 10 \text{ см} - 15 \text{ см}} = \frac{-200 \text{ см}^2}{10 \text{ см} - 15 \text{ см}} = \frac{-200 \text{ см}^2}{-5 \text{ см}} = 40 \text{ см} $

Так как эквивалентное фокусное расстояние получилось положительным ($F = 40$ см), то система в целом действует как собирающая линза. Следовательно, для получения действительного изображения Солнца такого же размера потребуется одна собирающая линза с фокусным расстоянием 40 см.

Ответ: Надо взять собирающую линзу с фокусным расстоянием 40 см.