Номер 38.3, страница 266 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 38. Элементы теории относительности. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 38.3, страница 266.

Условие.

38.3. Поскольку одновременность событий относительна, возникает вопрос: существует ли такая система отсчета $K'$, в которой попадание мяча в окно происходит одновременно с ударом по этому мячу?

Решение. Поскольку скорость мяча меньше $\text{c}$, для двух событий (удара по мячу и попадания мяча в окно) выполняется условие $l < ct$, или $S > 0$ (см. задачу 38.2). В системе отсчета $K'$ величина $\tau' = 0$, и поэтому величина $S'$ была бы отрицательной, что несовместимо с условием $S > 0$. Следовательно, системы отсчета, в которой оба события произошли бы одновременно, не существует. Аналогично доказывается, что не существует и такой системы отсчета, в которой рассматриваемые события происходят в обратном порядке во времени. Заметим, что в такой системе отсчета следствие опережало бы причину (а что, если после попадания мяча в окно игрок передумает бить по мячу?).

Решение.

38.3. Решение

Рассмотрим два события: событие 1 — удар по мячу, и событие 2 — попадание мяча в окно. Эти два события причинно-следственно связаны: удар по мячу является причиной его попадания в окно. В той системе отсчета $K$, где мы наблюдаем эту картину (например, связанной с землей), событие 1 происходит в момент времени $t_1$ в точке пространства с координатой $x_1$, а событие 2 — в момент $t_2$ в точке $x_2$. Так как причина должна предшествовать следствию, то $t_2 > t_1$.

Обозначим временной промежуток между событиями как $\Delta t = t_2 - t_1 > 0$, а расстояние в пространстве — как $l = |x_2 - x_1|$. Мяч, являясь физическим объектом, передает взаимодействие от первого события ко второму со скоростью $v_{мяча} = l / \Delta t$. Согласно специальной теории относительности, скорость любого материального объекта не может превышать скорость света $c$, то есть $v_{мяча} < c$.

Из неравенства $v_{мяча} < c$ следует, что $l / \Delta t < c$, или $l < c\Delta t$.

В специальной теории относительности вводится понятие инвариантного пространственно-временного интервала $S$, квадрат которого для двух событий вычисляется по формуле:

$S^2 = (c\Delta t)^2 - l^2$

Поскольку мы установили, что $l < c\Delta t$, то $(c\Delta t)^2 > l^2$, и, следовательно, для рассматриваемых событий $S^2 > 0$. Такие интервалы, для которых $S^2 > 0$, называются времениподобными. Они характерны для причинно-связанных событий.

Одним из ключевых постулатов теории относительности является инвариантность интервала, то есть его величина одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, в любой другой системе отсчета $K'$, движущейся относительно $K$, квадрат интервала $S'^2$ будет иметь то же самое значение:

$S'^2 = (c\Delta t')^2 - l'^2 = S^2 > 0$

Теперь предположим, что существует такая система отсчета $K'$, в которой оба события происходят одновременно. Это означает, что в этой системе временной промежуток между событиями равен нулю: $\Delta t' = 0$.

Подставим это условие в выражение для интервала в системе $K'$:

$S'^2 = (c \cdot 0)^2 - l'^2 = -l'^2$

Поскольку события происходят в разных точках пространства (место удара и окно), пространственное расстояние между ними $l'$ не может быть равно нулю. Следовательно, $l'^2 > 0$, а $S'^2 = -l'^2 < 0$.

Мы пришли к противоречию. С одной стороны, интервал должен быть инвариантен, и $S'^2$ должен быть равен $S^2$, то есть быть положительным. С другой стороны, из предположения об одновременности событий в системе $K'$ следует, что $S'^2$ должен быть отрицательным. Положительное число не может быть равно отрицательному. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такой системы отсчета $K'$ неверно.

Таким образом, для причинно-связанных событий (когда одно событие может повлиять на другое), временной порядок является абсолютным. Не существует такой инерциальной системы отсчета, в которой они происходили бы одновременно или в обратном порядке. Если бы такая система существовала, это нарушало бы принцип причинности: следствие не может наступить раньше причины.

Ответ: Нет, такая система отсчета не существует.