Номер 40.4, страница 276 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 40. Физика атома и атомного ядра. Упражнения - номер 40.4, страница 276.

Условие.

40.4. Протон, двигавшийся со скоростью $v_0 = 500$ км/с, столкнулся с неподвижным ядром. В результате упругого столкновения направление движения протона изменилось на противоположное, а модуль его скорости уменьшился до $v = 400$ км/с. С каким ядром могло произойти это столкновение?

☑ С ядром бериллия.

Решение. Применим к столкновению законы сохранения импульса и энергии:

$mv_0 = Mu - mv$, $\frac{mv_0^2}{2} = \frac{Mu^2}{2} + \frac{mv^2}{2}$.

Здесь $\text{m}$ — масса протона, $\text{M}$ и $\text{u}$ — масса ядра и его скорость после столкновения. Исключая из этих уравнений $\text{u}$, получаем $M = m \frac{v_0 + v}{v_0 - v} = 9m$. Такую массу имеет ядро бериллия.

Решение.

Дано:

$m$ – масса протона
$M$ – масса неподвижного ядра
$v_0 = 500$ км/с = $5 \cdot 10^5$ м/с – начальная скорость протона
$v = 400$ км/с = $4 \cdot 10^5$ м/с – конечная скорость протона
Столкновение упругое.

Найти:

$M$ – массу ядра, чтобы определить, что это за ядро.

Решение:

Рассмотрим упругое столкновение протона с неподвижным ядром. Поскольку столкновение упругое, выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Выберем ось $Ox$, направленную вдоль начального движения протона. Начальный импульс системы равен импульсу протона, так как ядро покоится: $p_{нач} = m v_0$.

После столкновения протон движется в противоположном направлении, поэтому его скорость будет отрицательной в выбранной системе координат: $-v$. Ядро приобретает скорость $u$ в положительном направлении. Конечный импульс системы: $p_{кон} = M u - m v$.

Запишем закон сохранения импульса:

$m v_0 = M u - m v$ (1)

Теперь запишем закон сохранения кинетической энергии. Начальная энергия равна кинетической энергии протона. Конечная энергия – сумма кинетических энергий протона и ядра после столкновения.

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{M u^2}{2} + \frac{m v^2}{2}$ (2)

Умножим обе части уравнения (2) на 2 и преобразуем его:

$m v_0^2 - m v^2 = M u^2$

$m (v_0^2 - v^2) = M u^2$

$m (v_0 - v)(v_0 + v) = M u^2$ (3)

Из уравнения (1) выразим скорость ядра $u$:

$m v_0 + m v = M u$

$m (v_0 + v) = M u$

$u = \frac{m(v_0 + v)}{M}$ (4)

Подставим выражение для $u$ из (4) в уравнение (3):

$m (v_0 - v)(v_0 + v) = M \left( \frac{m(v_0 + v)}{M} \right)^2$

$m (v_0 - v)(v_0 + v) = M \frac{m^2(v_0 + v)^2}{M^2}$

Сократим обе части на $m$ и $(v_0+v)$:

$v_0 - v = \frac{m(v_0 + v)}{M}$

Отсюда выразим массу ядра $M$:

$M = m \frac{v_0+v}{v_0-v}$

Подставим числовые значения скоростей:

$M = m \frac{500 \text{ км/с} + 400 \text{ км/с}}{500 \text{ км/с} - 400 \text{ км/с}} = m \frac{900}{100} = 9m$

Таким образом, масса ядра в 9 раз больше массы протона. Масса протона приблизительно равна одной атомной единице массы (а.е.м.). Следовательно, масса неизвестного ядра составляет примерно 9 а.е.м.

Массовое число ядра (общее число протонов и нейтронов) равно 9. Элементом с таким массовым числом является бериллий ($^9_4\text{Be}$).

Ответ: Столкновение могло произойти с ядром бериллия.