Номер 158, страница 279 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 40. Физика атома и атомного ядра. Олимпиадные задачи - номер 158, страница 279.

Условие.

O58. Мишень из $^6\text{Li}$ подвергают бомбардировке нейтронами. Какова кинетическая энергия $W_n$ этих нейтронов, если в направлении движения нейтронов вылетают $\alpha$-частицы с кинетической энергией $W_\alpha = 3 \text{ МэВ}$? Энергией испускаемых $\gamma$-квантов можно пренебречь.

☑ 0,61 МэВ.

Решение. В реакции $^6_3\text{Li} + ^1_0\text{n} \rightarrow ^3_1\text{H} + ^4_2\text{He}$ масса покоя частиц уменьшается на $\Delta m = 5,14 \cdot 10^{-3} \text{ а.е.м.}$, т. е. выделяется энергия $W = \Delta m \cdot c^2 = 4,8 \text{ МэВ}$. Движение частиц нерелятивистское; если не учитывать энергию, уносимую $\gamma$-излучением, закон сохранения энергии принимает вид $W_n + W = W_T + W_\alpha$, где $W_T$ — кинетическая энергия ядра трития. Используя также закон сохранения импульса, приходим к системе уравнений

$\begin{cases} \frac{m_n v_n^2}{2} - \frac{m_T v_T^2}{2} = W_\alpha - W, \\ m_n v_n = m_T v_T + m_\alpha v_\alpha. \end{cases}$

Обозначив $v_n/v_\alpha = x$ и принимая $m_T = 3m_n$, $m_\alpha = 4m_n$, получаем уравнение $x^2 + 4x - 14 + 6W/W_\alpha = 0$. Подставив числовые значения $\text{W}$ и $W_\alpha$, находим положительный корень этого уравнения $x = 0,9$. Следовательно,

$W_n = \frac{m_n v_n^2}{2} = \frac{x^2}{4} \cdot \frac{m_\alpha v_\alpha^2}{2} = \frac{x^2}{4} W_\alpha = 0,61 \text{ (МэВ)}$.

Решение.

Дано:

Ядерная реакция: $^6_3Li + ^1_0n \rightarrow ^3_1H + ^4_2He$

Кинетическая энергия $\alpha$-частицы: $W_\alpha = 3$ МэВ

Энергетический выход реакции: $W = 4,8$ МэВ

Направление движения $\alpha$-частицы совпадает с направлением движения нейтрона.

Мишень ($^6_3Li$) до столкновения покоится.

Найти:

Кинетическую энергию нейтрона $W_n$.

Решение:

Для решения задачи используем законы сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения энергии.

Суммарная энергия до реакции (энергия покоя частиц плюс кинетическая энергия нейтрона) равна суммарной энергии после реакции (энергия покоя продуктов плюс их кинетические энергии).

$E_{Li} + E_n + W_n = E_T + E_\alpha + W_T + W_\alpha$

Здесь $E$ - энергии покоя, $W$ - кинетические энергии. Индексы $n, Li, T, \alpha$ обозначают нейтрон, литий, тритий (ядро $^3_1H$) и альфа-частицу (ядро $^4_2He$) соответственно. Мишень лития покоится, поэтому ее кинетическая энергия равна нулю.

Разность энергий покоя до и после реакции — это энергетический выход реакции $W$:

$W = (E_{Li} + E_n) - (E_T + E_\alpha) = 4,8$ МэВ.

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

$W_n + W = W_T + W_\alpha$ (1)

2. Закон сохранения импульса.

Поскольку мишень покоилась, а частицы после реакции движутся в том же направлении, что и налетающий нейтрон, закон сохранения импульса в проекции на это направление выглядит так:

$p_n = p_T + p_\alpha$

Импульс $p$ связан с кинетической энергией $W_k$ и массой $m$ соотношением $p = \sqrt{2mW_k}$. Однако удобнее работать со скоростями.

$m_n v_n = m_T v_T + m_\alpha v_\alpha$ (2)

Для дальнейших расчетов воспользуемся приближенными значениями масс, выраженными через массу нейтрона $m_n$: масса трития $m_T \approx 3m_n$, масса альфа-частицы $m_\alpha \approx 4m_n$.

Из уравнения (2) выразим скорость трития $v_T$:

$m_T v_T = m_n v_n - m_\alpha v_\alpha \implies v_T = \frac{m_n v_n - m_\alpha v_\alpha}{m_T} = \frac{m_n v_n - 4m_n v_\alpha}{3m_n} = \frac{v_n - 4v_\alpha}{3}$

Теперь подставим это выражение в уравнение энергии (1), предварительно выразив его через скорости.

Из (1): $W_n - W_T = W_\alpha - W$

$\frac{m_n v_n^2}{2} - \frac{m_T v_T^2}{2} = W_\alpha - W$

$\frac{m_n v_n^2}{2} - \frac{3m_n}{2} \left( \frac{v_n - 4v_\alpha}{3} \right)^2 = W_\alpha - W$

$\frac{m_n v_n^2}{2} - \frac{3m_n(v_n - 4v_\alpha)^2}{18} = W_\alpha - W$

$\frac{m_n v_n^2}{2} - \frac{m_n(v_n^2 - 8v_n v_\alpha + 16v_\alpha^2)}{6} = W_\alpha - W$

Умножим все уравнение на 6:

$3m_n v_n^2 - m_n(v_n^2 - 8v_n v_\alpha + 16v_\alpha^2) = 6(W_\alpha - W)$

$2m_n v_n^2 + 8m_n v_n v_\alpha - 16m_n v_\alpha^2 = 6(W_\alpha - W)$

Разделим на 2:

$m_n v_n^2 + 4m_n v_n v_\alpha - 8m_n v_\alpha^2 = 3(W_\alpha - W)$

Введем отношение скоростей $x = v_n/v_\alpha$ и разделим уравнение на $m_n v_\alpha^2$:

$\left(\frac{v_n}{v_\alpha}\right)^2 + 4\left(\frac{v_n}{v_\alpha}\right) - 8 = \frac{3(W_\alpha - W)}{m_n v_\alpha^2}$

$x^2 + 4x - 8 = \frac{3(W_\alpha - W)}{m_n v_\alpha^2}$

Свяжем знаменатель правой части с известной величиной $W_\alpha$:

$W_\alpha = \frac{m_\alpha v_\alpha^2}{2} = \frac{4m_n v_\alpha^2}{2} = 2m_n v_\alpha^2 \implies m_n v_\alpha^2 = \frac{W_\alpha}{2}$

Подставим это в уравнение:

$x^2 + 4x - 8 = \frac{3(W_\alpha - W)}{W_\alpha/2} = \frac{6(W_\alpha - W)}{W_\alpha} = 6 - \frac{6W}{W_\alpha}$

Получаем квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 4x - 14 + \frac{6W}{W_\alpha} = 0$

Подставим числовые значения $W = 4,8$ МэВ и $W_\alpha = 3$ МэВ:

$x^2 + 4x - 14 + \frac{6 \cdot 4,8}{3} = 0$

$x^2 + 4x - 14 + 9,6 = 0$

$x^2 + 4x - 4,4 = 0$

Решим уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-4,4) = 16 + 17,6 = 33,6$.

Поскольку скорости $v_n$ и $v_\alpha$ сонаправлены, их отношение $x$ должно быть положительным. Берем корень со знаком плюс:

$x = \frac{-4 + \sqrt{33,6}}{2} \approx \frac{-4 + 5,797}{2} \approx 0,8985 \approx 0,9$

Теперь найдем кинетическую энергию нейтрона $W_n$. Установим связь между $W_n$ и $W_\alpha$:

$\frac{W_n}{W_\alpha} = \frac{m_n v_n^2 / 2}{m_\alpha v_\alpha^2 / 2} = \frac{m_n}{m_\alpha}\left(\frac{v_n}{v_\alpha}\right)^2 = \frac{m_n}{4m_n}x^2 = \frac{x^2}{4}$

Отсюда:

$W_n = W_\alpha \frac{x^2}{4} = 3 \text{ МэВ} \cdot \frac{0,9^2}{4} = 3 \cdot \frac{0,81}{4} = \frac{2,43}{4} \approx 0,6075$ МэВ.

Округляя до двух значащих цифр, получаем 0,61 МэВ.

Ответ: 0,61 МэВ.