Номер 156, страница 278 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 40. Физика атома и атомного ядра. Квантовая физика - номер 156, страница 278.

Условие.

О56. Когда атом водорода находится в основном состоянии, де-бройлевская длина волны электрона как раз совпадает с длиной его «траектории». Пользуясь полученными в задаче О55 результатами, найдите радиус $\text{r}$ «орбиты» электрона. Вычислите также энергию ионизации $W_i$, т. е. энергию, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он покинул атом. Величину $W_i$ выразите в электрон-вольтах.

☑ $5,3 \cdot 10^{1}$ м; $13,6$ эВ.

Решение. Де-бройлевская длина волны электрона $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{e}\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0r}{m}}$ (см. задачу О55). Из условия $\lambda = 2\pi r$ следует, что $r = \frac{\varepsilon_0h^2}{\pi e^2m} = 5,3 \cdot 10^{1}$ м. Для ионизации атома необходима энергия $W_i = |W| = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r} = 13,6$ (эВ).

Решение.

Дано

Атом водорода находится в основном состоянии.

Длина волны де Бройля электрона $\lambda$ совпадает с длиной его круговой «траектории» $L=2\pi r$.

$\lambda = 2\pi r$

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Масса электрона: $m \approx 9.109 \cdot 10^{-31}$ кг

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$r$ — ?

$W_i$ — ? (в эВ)

Решение

1. Нахождение радиуса орбиты $r$

Длина волны де Бройля для частицы с импульсом $p=mv$ определяется как:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$

Движение электрона по круговой орбите в атоме водорода происходит под действием кулоновской силы притяжения к ядру (протону). Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{\text{кул}} = F_{\text{ц.с.}}$

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Из этого соотношения выразим скорость электрона $v$:

$v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m r} \implies v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m r}}$

Теперь подставим это выражение для скорости в формулу длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{m \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m r}}} = \frac{h}{m} \frac{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m r}}{\sqrt{e^2}} = \frac{h}{e} \sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 r}{m}}$

Согласно условию задачи, $\lambda = 2\pi r$. Приравняем полученное выражение для $\lambda$ к $2\pi r$:

$2\pi r = \frac{h}{e} \sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 r}{m}}$

Для того чтобы найти $r$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi r)^2 = \left( \frac{h}{e} \sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 r}{m}} \right)^2$

$4\pi^2 r^2 = \frac{h^2}{e^2} \frac{4\pi\varepsilon_0 r}{m}$

Сократим обе части на $4\pi r$ (поскольку $r \neq 0$):

$\pi r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{m e^2}$

Отсюда выражаем радиус $r$ (боровский радиус):

$r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$

Подставим числовые значения физических констант:

$r = \frac{(8.854 \cdot 10^{-12}) \cdot (6.626 \cdot 10^{-34})^2}{3.14159 \cdot (9.109 \cdot 10^{-31}) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19})^2} \approx 5.29 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Ответ: $r \approx 5.3 \cdot 10^{-11}$ м.

2. Вычисление энергии ионизации $W_i$

Энергия ионизации $W_i$ — это минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы он покинул атом. Она равна по модулю полной энергии $W$ электрона на орбите, но с противоположным знаком ($W_i = -W$).

Полная энергия $W$ является суммой кинетической $W_k$ и потенциальной $W_p$ энергий.

Кинетическая энергия: $W_k = \frac{1}{2}mv^2$. Из уравнения для сил мы получили, что $mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$, значит:

$W_k = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \right) = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$

Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле ядра:

$W_p = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$

Полная энергия:

$W = W_k + W_p = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = \frac{e^2 - 2e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$

Тогда энергия ионизации равна:

$W_i = -W = - \left( -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} \right) = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$

Подставим числовые значения, включая найденный радиус $r$:

$W_i = \frac{(1.602 \cdot 10^{-19})^2}{8 \cdot 3.14159 \cdot (8.854 \cdot 10^{-12}) \cdot (5.29 \cdot 10^{-11})} \approx 2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Чтобы выразить эту энергию в электрон-вольтах (эВ), разделим полученное значение в джоулях на величину элементарного заряда $e$ (так как $1 \text{ эВ} = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Дж):

$W_i (\text{эВ}) = \frac{W_i (\text{Дж})}{e} = \frac{2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 13.6 \text{ эВ}$

Ответ: $W_i \approx 13.6$ эВ.