Номер 157, страница 278 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 40. Физика атома и атомного ядра. Квантовая физика - номер 157, страница 278.

Условие.

O57. В образцах урановой руды всегда содержится некоторое количество атомов тория-234, образовавшихся в результате $\alpha$-распада урана-238 (период полураспада $T_U = 4,5 \cdot 10^9$ лет). Торий также радиоактивен (период полураспада равен $T_{Th} = 24$ сут). Сколько атомов тория содержится в образце урановой руды, в котором находится $m = 0,5$ г урана-238?

☑ 1,8 $\cdot$ $10^{10}$.

Решение. Число распадающихся за время $\tau \ll T$ радиоактивных атомов $\Delta N = N_0 - N_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}} = N_0 \tau \ln 2/T$. В образце руды одновременно идут два процесса: распад урана, увеличивающий число атомов тория, и распад образовавшихся атомов тория. В результате число атомов тория остается практически неизменным. Приравняв количества распадов урана и тория, происшедших за одно и то же время, получаем: $\frac{N_{Th}}{T_{Th}} = \frac{N_U}{T_U}$.

Поскольку $N_U = \frac{mN_A}{M_U}$, находим $N_{Th} = \frac{N_A m T_{Th}}{M_U T_U} = 1,8 \cdot 10^{10}$.

Решение.

Дано:

Период полураспада урана-238: $T_U = 4,5 \cdot 10^9$ лет

Период полураспада тория-234: $T_{Th} = 24$ сут

Масса урана-238 в образце: $m_U = 0,5$ г = $0,5 \cdot 10^{-3}$ кг

Молярная масса урана-238: $M_U \approx 238$ г/моль = $0,238$ кг/моль

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Найти:

$N_{Th}$ — число атомов тория-234.

Решение:

В образцах старой урановой руды устанавливается состояние так называемого векового радиоактивного равновесия. Это означает, что скорость образования дочерних ядер (тория-234) в результате распада материнских ядер (урана-238) становится равной скорости распада самих дочерних ядер. В результате количество атомов тория-234 в образце остается практически постоянным.

Скорость распада (активность) для любого радиоактивного изотопа определяется формулой $A = \lambda N$, где $N$ — число радиоактивных ядер, а $\lambda$ — постоянная распада. Постоянная распада связана с периодом полураспада $T$ соотношением $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.

Условие векового равновесия можно записать как равенство активностей урана и тория:

$A_U = A_{Th}$

Подставим выражения для активностей:

$\lambda_U N_U = \lambda_{Th} N_{Th}$

где $N_U$ и $N_{Th}$ — число атомов урана и тория соответственно, а $\lambda_U$ и $\lambda_{Th}$ — их постоянные распада.

Заменим постоянные распада через периоды полураспада:

$\frac{\ln 2}{T_U} N_U = \frac{\ln 2}{T_{Th}} N_{Th}$

Константа $\ln 2$ сокращается, и мы получаем простое соотношение:

$\frac{N_U}{T_U} = \frac{N_{Th}}{T_{Th}}$

Из этого уравнения можно выразить искомое число атомов тория $N_{Th}$:

$N_{Th} = N_U \frac{T_{Th}}{T_U}$

Сначала найдем число атомов урана-238 ($N_U$) в образце массой $m_U$, используя молярную массу $M_U$ и число Авогадро $N_A$:

$N_U = \frac{m_U}{M_U} N_A$

Теперь подставим это выражение в формулу для $N_{Th}$:

$N_{Th} = \frac{m_U N_A}{M_U} \frac{T_{Th}}{T_U}$

Для проведения вычислений необходимо, чтобы периоды полураспада $T_U$ и $T_{Th}$ были выражены в одинаковых единицах времени. Переведем период полураспада урана из лет в сутки, приняв, что в году в среднем 365,25 суток (с учетом високосных лет):

$T_U = 4,5 \cdot 10^9 \text{ лет} \cdot 365,25 \frac{\text{сут}}{\text{год}} \approx 1,6436 \cdot 10^{12} \text{ сут}$

Теперь подставим все числовые значения. Для удобства можно использовать массу в граммах и молярную массу в г/моль, так как эти единицы измерения сократятся.

$N_{Th} = \frac{0,5 \text{ г} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{238 \text{ г/моль}} \cdot \frac{24 \text{ сут}}{1,6436 \cdot 10^{12} \text{ сут}}$

$N_{Th} \approx (1,265 \cdot 10^{21}) \cdot (1,460 \cdot 10^{-11}) \approx 1,847 \cdot 10^{10}$

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем:

$N_{Th} \approx 1,8 \cdot 10^{10}$

Ответ: в образце урановой руды содержится примерно $1,8 \cdot 10^{10}$ атомов тория.