Номер 40.5, страница 276 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 40. Физика атома и атомного ядра. Упражнения - номер 40.5, страница 276.

Условие.

40.5. Найдите минимальную кинетическую энергию $W_k$ протона, способного «разбить» ядро дейтерия на протон и нейтрон.

☑ 3,3 МэВ.

Решение. В результате разделения ядра дейтерия на протон и нейтрон масса покоя системы возрастает на величину $\Delta m = 0,00239$ а.е.м. Следовательно, энергия покоя системы возрастает на $\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = 2,2$ (МэВ). Однако начальная кинетическая энергия протона должна превышать $\Delta E$: ведь после реакции все частицы обладают кинетической энергией. Можно доказать, что эта энергия минимальна в том случае, когда все частицы движутся в одном направлении с одинаковой скоростью. Обозначив эту скорость $\text{v}$, а начальную скорость протона $v_0$, получаем из закона сохранения импульса $v = v_0/3$ (суммарную массу системы мы считаем равной $3m_p$, где $m_p$ — масса протона). Тогда из закона сохранения энергии следует, что $\frac{m_p v_0^2}{2} = \Delta E + \frac{3m_p (v_0/3)^2}{2}$, откуда находим минимальную кинетическую энергию протона: $\frac{m_p v_0^2}{2} = \frac{3\Delta E}{2}$.

Решение.

Дано:

Реакция расщепления ядра дейтерия: $p + d \rightarrow p + p + n$

Ядро дейтерия ($d$) первоначально покоится.

Энергия, необходимая для реакции (увеличение энергии покоя системы): $\Delta E = 2,2 \text{ МэВ}$

Перевод в систему СИ:
$1 \text{ МэВ} = 10^6 \text{ эВ} $
$1 \text{ эВ} \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$
$\Delta E = 2,2 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 3,524 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Минимальную кинетическую энергию налетающего протона $W_{k,min}$.

Решение:

Рассмотрим столкновение протона ($p$) с покоящимся ядром дейтерия ($d$ или ${}_1^2H$). В результате реакции ядро дейтерия расщепляется на протон и нейтрон ($n$). Таким образом, в конечном состоянии мы имеем три частицы: два протона и один нейтрон. Уравнение реакции:

$p + d \rightarrow p + p + n$

Для того чтобы эта реакция произошла, суммарная энергия покоя частиц после реакции должна быть не больше полной энергии системы до реакции. В условии сказано, что энергия покоя системы возрастает на величину $\Delta E = 2,2 \text{ МэВ}$. Это означает, что реакция является эндоэнергетической, то есть для ее осуществления требуется подвести энергию. Эта энергия поступает из начальной кинетической энергии налетающего протона.

Минимальная кинетическая энергия налетающего протона ($W_{k,min}$) соответствует пороговой энергии реакции. Пороговая энергия достигается, когда все частицы, образовавшиеся в результате реакции, движутся как единое целое, то есть с одинаковой скоростью $v$. Этот случай соответствует минимально возможной кинетической энергии конечных продуктов при соблюдении закона сохранения импульса.

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения импульса и энергии.

1. Закон сохранения импульса.
Пусть $m_p$ – масса протона, $v_0$ – его начальная скорость. Ядро дейтерия покоится. Импульс системы до реакции равен импульсу налетающего протона: $P_{начальный} = m_p v_0$. После реакции все три частицы (два протона и нейтрон) движутся с одинаковой скоростью $v$. Их суммарный импульс: $P_{конечный} = (m_p + m_p + m_n)v$. Примем, что масса нейтрона приблизительно равна массе протона ($m_n \approx m_p$). Тогда суммарная масса конечных частиц будет $m_{конечная} \approx 3m_p$. Приравнивая начальный и конечный импульсы:

$m_p v_0 = (3m_p)v$

Отсюда находим скорость конечных частиц: $v = \frac{v_0}{3}$.

2. Закон сохранения энергии.
Полная энергия системы до реакции равна сумме кинетической энергии налетающего протона $W_{k,min}$ и энергий покоя протона и дейтрона. $E_{начальная} = W_{k,min} + (m_p + m_d)c^2$. Полная энергия системы после реакции равна сумме кинетической энергии трех частиц $W_{k,конечная}$ и их суммарной энергии покоя. $E_{конечная} = W_{k,конечная} + (m_p + m_p + m_n)c^2$. По закону сохранения энергии $E_{начальная} = E_{конечная}$:

$W_{k,min} + (m_p + m_d)c^2 = W_{k,конечная} + (m_p + m_p + m_n)c^2$

Перегруппируем слагаемые:

$W_{k,min} = W_{k,конечная} + [(m_p + m_p + m_n) - (m_p + m_d)]c^2$

Выражение в квадратных скобках, умноженное на $c^2$, представляет собой увеличение энергии покоя системы, которое по условию равно $\Delta E$.

$W_{k,min} = W_{k,конечная} + \Delta E$

Теперь выразим кинетические энергии через массы и скорости. Начальная кинетическая энергия: $W_{k,min} = \frac{m_p v_0^2}{2}$. Конечная кинетическая энергия: $W_{k,конечная} = \frac{(m_p + m_p + m_n)v^2}{2} \approx \frac{(3m_p)v^2}{2}$. Подставим найденное ранее выражение для скорости $v = v_0/3$:

$W_{k,конечная} = \frac{3m_p}{2} \left(\frac{v_0}{3}\right)^2 = \frac{3m_p v_0^2}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3} \left(\frac{m_p v_0^2}{2}\right) = \frac{1}{3} W_{k,min}$

Подставим это выражение в уравнение баланса энергий:

$W_{k,min} = \frac{1}{3} W_{k,min} + \Delta E$

Решим уравнение относительно $W_{k,min}$:

$W_{k,min} - \frac{1}{3} W_{k,min} = \Delta E$

$\frac{2}{3} W_{k,min} = \Delta E$

$W_{k,min} = \frac{3}{2} \Delta E$

Теперь подставим числовое значение $\Delta E = 2,2 \text{ МэВ}$:

$W_{k,min} = \frac{3}{2} \cdot 2,2 \text{ МэВ} = 3 \cdot 1,1 \text{ МэВ} = 3,3 \text{ МэВ}$

Таким образом, минимальная кинетическая энергия протона, способного "разбить" ядро дейтерия, составляет 3,3 МэВ.

Ответ: $3,3 \text{ МэВ}$.