Номер 155, страница 278 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 40. Физика атома и атомного ядра. Олимпиадные задачи - номер 155, страница 278.

Условие.

O55. Рассматривая электрон как классическую частицу, движущуюся в атоме водорода по круговой орбите вокруг неподвижного протона, выразите скорость $\text{v}$ электрона и его механическую энергию $\text{W}$ через радиус $\text{r}$ орбиты.

Решение. Сила Кулона $F_{\text{ж}} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ сообщает электрону центростремительное ускорение $v^2/r$. Из второго закона Ньютона следует: $v = \frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mr}}$. Отсюда находим энергию движущегося вокруг ядра электрона: $W = \frac{mv^2}{2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = - \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$.

Она отрицательна, как и должно быть для связанной частицы, которая не может уйти на бесконечность (напомним, что нулевой уровень потенциальной энергии здесь, как обычно, соответствует бесконечно большому расстоянию между частицами).

Решение.

Дано:

Рассматривается классическая модель атома водорода, где электрон движется вокруг неподвижного протона.

Электрон: заряд $q_e = -e$, масса $m$.

Протон: заряд $q_p = +e$.

Траектория электрона: круговая орбита радиусом $r$.

Найти:

Скорость электрона $v$ и его механическую энергию $W$ в зависимости от радиуса $r$.

Решение:

Скорость v электрона

Электрон движется по круговой орбите, значит, на него действует центростремительная сила. В данной модели эту роль выполняет сила электростатического притяжения (сила Кулона) между электроном и протоном. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц = v^2/r$.

Сила Кулона $F_k$ между протоном и электроном определяется по формуле:

$F_k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_p \cdot q_e|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$

где $e$ – элементарный заряд, а $\epsilon_0$ – электрическая постоянная.

Сила, вызывающая центростремительное ускорение (центростремительная сила), равна:

$F_ц = m a_ц = \frac{mv^2}{r}$

Приравняем силу Кулона и центростремительную силу:

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Из этого равенства выразим скорость $v$. Для этого сначала умножим обе части на $r$ и разделим на $m$:

$v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m r}$

Извлекая квадратный корень, получаем выражение для скорости электрона:

$v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m r}} = \frac{e}{\sqrt{4\pi\epsilon_0 m r}}$

Ответ: $v = \frac{e}{\sqrt{4\pi\epsilon_0 m r}}$

Механическая энергия W

Полная механическая энергия $W$ электрона на орбите является суммой его кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии $U$ в электростатическом поле протона.

$W = K + U$

Кинетическая энергия $K$ равна:

$K = \frac{1}{2}mv^2$

Из предыдущего пункта мы нашли, что $mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$. Подставим это в формулу для кинетической энергии:

$K = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right) = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$

Потенциальная энергия $U$ взаимодействия электрона (заряд $-e$) и протона (заряд $+e$), находящихся на расстоянии $r$ друг от друга, равна:

$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_p q_e}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(+e)(-e)}{r} = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

Здесь принято, что потенциальная энергия равна нулю при бесконечном удалении частиц друг от друга.

Теперь найдем полную механическую энергию $W$, сложив кинетическую и потенциальную энергии:

$W = K + U = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:

$W = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} - \frac{2e^2}{8\pi\epsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$

Отрицательное значение полной энергии означает, что электрон находится в связанном состоянии, то есть для его отрыва от протона (ионизации атома) требуется совершить работу.

Ответ: $W = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$