Номер 40.3, страница 275 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Квантовая физика. 40. Физика атома и атомного ядра. Упражнения - номер 40.3, страница 275.

Условие.

40.3. Кинетическая энергия частиц, вылетающих из ядра при радиоактивном распаде, в миллионы раз превышает кинетическую энергию электронов в атоме. Как объяснить такое огромное различие в энергиях?

Решение. Из соотношения неопределенности следует, что неопределенность импульса нуклона в ядре в десятки и сотни тысяч раз больше неопределенности импульса электрона в атоме. Это означает, что нуклоны в ядре с большой вероятностью имеют огромные импульсы, а значит, и огромные кинетические энергии: расчеты показывают, что кинетические энергии нуклонов в ядре оказываются действительно порядка миллионов электрон-вольт.

Решение.

Огромное различие в кинетических энергиях частиц, вылетающих из ядра при радиоактивном распаде, и электронов в атоме объясняется двумя основными причинами: масштабом области локализации частиц и природой сил, действующих на этих масштабах.

1. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Согласно квантово-механическому соотношению неопределенностей, чем точнее локализована частица в пространстве, тем больше неопределенность ее импульса. Это означает, что частица, "запертая" в очень малом объеме, не может иметь малый импульс. Математически это выражается как:

$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

где $\Delta x$ – неопределенность координаты, $\Delta p$ – неопределенность импульса, а $\hbar$ – приведенная постоянная Планка.

Для нуклона в ядре, который локализован в области с характерным размером $\Delta x_{ядро} \approx 10^{-15}$ м, неопределенность импульса $\Delta p_{ядро} \approx \frac{\hbar}{\Delta x_{ядро}}$ оказывается очень большой. Для электрона в атоме, локализованного в гораздо большей области $\Delta x_{атом} \approx 10^{-10}$ м, неопределенность импульса $\Delta p_{атом} \approx \frac{\hbar}{\Delta x_{атом}}$ оказывается на много порядков меньше.

Сравним минимально возможные импульсы частиц, которые по порядку величины равны неопределенности импульса:

$\frac{p_{ядро}}{p_{атом}} \approx \frac{\Delta p_{ядро}}{\Delta p_{атом}} = \frac{\hbar/\Delta x_{ядро}}{\hbar/\Delta x_{атом}} = \frac{\Delta x_{атом}}{\Delta x_{ядро}} \approx \frac{10^{-10} \text{ м}}{10^{-15} \text{ м}} = 10^5$.

Таким образом, импульс нуклона в ядре примерно в сто тысяч раз больше импульса электрона в атоме.

Теперь сравним их кинетические энергии, используя нерелятивистскую формулу $E_к = \frac{p^2}{2m}$ (для оценки порядка величин):

$\frac{E_{к, ядро}}{E_{к, атом}} \approx \frac{p_{ядро}^2 / (2m_{нуклона})}{p_{атом}^2 / (2m_{электрона})} = \left(\frac{p_{ядро}}{p_{атом}}\right)^2 \cdot \frac{m_{электрона}}{m_{нуклона}}$

Подставим известные соотношения: масса нуклона примерно в 1836 раз больше массы электрона ($m_{нуклона} \approx 1836 \cdot m_{электрона}$).

$\frac{E_{к, ядро}}{E_{к, атом}} \approx (10^5)^2 \cdot \frac{1}{1836} = \frac{10^{10}}{1836} \approx 5.4 \times 10^6$.

Расчет показывает, что кинетическая энергия нуклона в ядре в миллионы раз превышает кинетическую энергию электрона в атоме. Энергии нуклонов в ядре составляют единицы и десятки МэВ (мегаэлектронвольт), в то время как энергии электронов в атоме – единицы и десятки эВ (электронвольт).

2. Природа взаимодействий.

Кинетическая энергия частиц внутри системы напрямую связана с силами, удерживающими их вместе. В ядре действуют сильные ядерные силы – самые мощные в природе, которые и определяют огромную энергию связи и кинетическую энергию нуклонов (порядка МэВ). В то же время, в атоме электроны удерживаются гораздо более слабым электромагнитным взаимодействием, поэтому их энергии на много порядков меньше (порядка эВ). При радиоактивном распаде высвобождается именно часть этой колоссальной внутриядерной энергии, которая и передается вылетающей частице в виде кинетической энергии.

Ответ: Огромная разница в энергиях объясняется двумя факторами. Во-первых, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, частицы (нуклоны), локализованные в очень малом объеме ядра ($ \approx 10^{-15} $ м), обладают огромным импульсом и, следовательно, огромной кинетической энергией. Электроны же локализованы в гораздо большем объеме атома ($ \approx 10^{-10} $ м), поэтому их импульс и энергия на много порядков меньше. Во-вторых, энергия частиц определяется силами взаимодействия. В ядре действуют сверхмощные сильные ядерные силы, определяющие энергии порядка МэВ (миллионов электрон-вольт). В атоме же действуют значительно более слабые электромагнитные силы, определяющие энергии электронов порядка эВ. При радиоактивном распаде высвобождается именно часть большой внутриядерной энергии.