Номер 37.7, страница 259 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 37. Геометрическая оптика. Упражнения - номер 37.7, страница 259.

Условие.

37.7. Солнечные лучи, проходя сквозь маленькие отверстия в листве дерева, дают на земле светлые пятна в форме эллипсов одинаковой формы, но разных размеров. Большая ось самых крупных эллипсов $a = 16$ см, а малая ось $b = 12$ см. Какова высота $\text{H}$ дерева? Под каким углом $\alpha$ к горизонту падают солнечные лучи? Угловой размер солнечного диска $\beta = 9,3 \cdot 10^{-3}$ рад.

☑ $H = 9,7$ м; $\alpha = 49^{\circ}$.

Решение. Солнечные лучи, пройдя сквозь маленькое отверстие, образуют в пространстве круговой конус с углом $\beta$ при вершине; самые крупные пятна созданы светом, прошедшим через отверстия вблизи вершины дерева (см. рисунок).

Диаметр кругового сечения светового конуса на уровне земли равен $\text{b}$; из-за наклонного падения света пятно на земле имеет форму эллипса с большой осью $a = b/\sin\alpha$.

Учитывая, что $b = L\beta$ и $H = L\sin\alpha$, получаем $H = b^2/(a\beta) = 9,7$ (м) и $\sin\alpha = b/a = 0,75$, откуда $\alpha = 49^{\circ}$.

Решение.

Дано:

Большая ось эллипса, $a = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
Малая ось эллипса, $b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
Угловой размер солнечного диска, $\beta = 9.3 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$

Найти:

$H - ?$
$\alpha - ?$

Решение:

Солнечные лучи, проходя через небольшие отверстия в листве дерева, создают конусы света. Угол при вершине каждого такого конуса равен угловому размеру Солнца $\beta$. Самые большие световые пятна на земле образуются от самых высоких отверстий, то есть от тех, что находятся на высоте дерева $H$.

Когда световой конус падает на землю под углом $\alpha$ к горизонту, он образует на ней эллиптическое пятно. Малая ось этого эллипса $b$ равна диаметру поперечного сечения светового конуса. Большая ось $a$ связана с малой осью $b$ и углом падения лучей $\alpha$ следующим соотношением (см. рисунок в задаче):

$b = a \cdot \sin\alpha$

Из этой формулы мы можем выразить и найти угол $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{b}{a} = \frac{12 \text{ см}}{16 \text{ см}} = 0.75$

$\alpha = \arcsin(0.75) \approx 48.59^\circ \approx 49^\circ$

Малая ось эллипса $b$ также связана с расстоянием $L$, которое проходит свет от отверстия до земли, и угловым размером Солнца $\beta$. Для малых углов (выраженных в радианах) можно использовать приближенную формулу:

$b \approx L \cdot \beta$

Отсюда, $L = \frac{b}{\beta}$.

Высота дерева $H$ связана с длиной пути света $L$ и углом $\alpha$ через прямоугольный треугольник:

$H = L \cdot \sin\alpha$

Подставим в эту формулу найденные ранее выражения для $L$ и $\sin\alpha$:

$H = \left(\frac{b}{\beta}\right) \cdot \left(\frac{b}{a}\right) = \frac{b^2}{a \cdot \beta}$

Теперь подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$H = \frac{(0.12 \text{ м})^2}{0.16 \text{ м} \cdot 9.3 \cdot 10^{-3} \text{ рад}} = \frac{0.0144 \text{ м}^2}{0.001488 \text{ м}} \approx 9.677 \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $H \approx 9.7 \text{ м}$.

Ответ: высота дерева $H \approx 9.7 \text{ м}$; угол, под которым падают солнечные лучи, $\alpha \approx 49^\circ$.