Номер 37.4, страница 258 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 37. Геометрическая оптика. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 37.4, страница 258.

Условие.

37.4. Из двух сортов стекла с различными показа-телями преломления изготовлена слоистаялинза (см. рисунок). Какое изображениеточечного источника света даст эта линза?Считайте, что на границах между слоямисвет полностью поглощается.

Решение. Если закрыть все слои из стекла одного сорта,то оставшиеся слои «работают» как обычная линза (см.задачу 37.3). Следовательно, слоистая линза даст два изо-бражения каждой точки. На экране, перпендикулярномглавной оптической оси линзы, лишь одно из этих изобра-жений может быть четким. Лучи, прошедшие через слоииз стекла другого сорта, образуют вокруг изображениясветлый ореол.

Решение.

Решение

Данная слоистая линза изготовлена из двух сортов стекла с различными показателями преломления, пусть это будут $n_1$ и $n_2$. Слои этих стекол чередуются. В задаче указано, что на границах между слоями свет полностью поглощается. Это означает, что лучи света, попавшие в слой из стекла одного сорта, не могут перейти в соседний слой из стекла другого сорта. Таким образом, данную слоистую линзу можно рассматривать как две независимые линзы, занимающие один и тот же объем.

Первая линза состоит из совокупности всех слоев стекла с показателем преломления $n_1$. Вторая линза — из совокупности всех слоев стекла с показателем преломления $n_2$. Обе эти "виртуальные" линзы имеют одинаковую геометрическую форму, то есть одинаковые радиусы кривизны поверхностей $R_1$ и $R_2$.

Оптическая сила $D$ и фокусное расстояние $F$ тонкой линзы определяются по формуле:

$D = \frac{1}{F} = (n - n_{ср}) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

где $n$ — показатель преломления материала линзы, а $n_{ср}$ — показатель преломления окружающей среды (обычно воздух, $n_{ср} \approx 1$).

Так как показатели преломления $n_1$ и $n_2$ различны ($n_1 \neq n_2$), то и фокусные расстояния этих двух "линз" будут разными:

$F_1 = \frac{1}{(n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)}$

$F_2 = \frac{1}{(n_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)}$

Из этого следует, что $F_1 \neq F_2$.

Каждая из этих двух "линз" создаст свое изображение точечного источника света. Положение изображения $f$ связано с положением предмета $d$ и фокусным расстоянием $F$ формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Для одного и того же положения источника света (одинаковое $d$), но при разных фокусных расстояниях ($F_1$ и $F_2$), мы получим два разных положения изображений, $f_1$ и $f_2$. Следовательно, слоистая линза создает два изображения каждой точки источника, и эти изображения находятся на разных расстояниях от линзы.

Если разместить экран перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии $f_1$ от линзы, то изображение, создаваемое первой "линзой" (из стекла с $n_1$), будет в фокусе и получится четким (в виде точки). В то же время лучи, прошедшие через вторую "линзу" (из стекла с $n_2$), соберутся в фокус в другой плоскости (на расстоянии $f_2$), и поэтому на данном экране они создадут расфокусированное светлое пятно. Это пятно будет выглядеть как светлый ореол вокруг четкого точечного изображения.

Аналогичная картина будет наблюдаться, если поместить экран на расстояние $f_2$: изображение от второй "линзы" будет четким, а от первой — создаст вокруг него ореол.

Ответ: Такая линза даст два изображения точечного источника, расположенных на разных расстояниях от нее. Если на экране, перпендикулярном главной оптической оси, сфокусировать одно из этих изображений, то оно будет выглядеть как четкая светящаяся точка, окруженная светлым расфокусированным ореолом, который образован лучами, формирующими второе изображение.