Номер 37.1, страница 257 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 37. Геометрическая оптика. Упражнения - номер 37.1, страница 257.

Условие.

37.1. Вертикальный шест высотой $h = 1$ м, поставленный недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длиной $l_1 = 80$ см. Если расстояние между фонарным столбом и шестом увеличить на $s = 1,5$ м, то длина тени возрастет до $l_2 = 1,3$ м. На какой высоте $\text{H}$ находится фонарь?

☑ 4 м.

Решение. Обозначим $\text{a}$ первоначальное расстояние от фонарного столба до шеста. Тогда из подобия треугольников (см. рисунок, на котором показана одна из двух пар подобных треугольников) $H/h = (a + l_1)/l_1$ и $H/h = (a + s + l_2)/l_2$.

Отсюда $H = h \frac{s + l_2 - l_1}{l_2 - l_1} = 4$ (м).

Решение.

Дано:

Высота шеста $h = 1$ м

Начальная длина тени $l_1 = 80$ см

Увеличение расстояния между фонарным столбом и шестом $s = 1,5$ м

Новая длина тени $l_2 = 1,3$ м

Перевод в систему СИ:
$l_1 = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$

Найти:

Высоту фонаря $H$.

Решение:

Рассмотрим две ситуации, соответствующие начальному и конечному положению шеста. В обоих случаях луч света от фонаря, проходящий через верхушку шеста, образует два подобных прямоугольных треугольника. Большой треугольник имеет катеты: высоту фонарного столба $H$ и расстояние от столба до конца тени. Малый треугольник имеет катеты: высоту шеста $h$ и длину тени.

1. В первом случае, обозначив начальное расстояние от фонарного столба до шеста как $a$, из подобия треугольников получаем отношение:

$\frac{H}{h} = \frac{a + l_1}{l_1}$

2. Во втором случае, когда расстояние увеличилось на $s$, новое расстояние до шеста стало $a+s$, а длина тени $l_2$. Соотношение из подобия для этого случая:

$\frac{H}{h} = \frac{a + s + l_2}{l_2}$

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим из обоих уравнений неизвестное расстояние $a$.

Из первого уравнения:

$H l_1 = h(a+l_1) \implies a = \frac{H l_1}{h} - l_1 = l_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right)$

Из второго уравнения:

$H l_2 = h(a+s+l_2) \implies a = \frac{H l_2}{h} - l_2 - s = l_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) - s$

Приравняем правые части выражений для $a$:

$l_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) = l_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) - s$

Сгруппируем члены, чтобы выразить искомое $H$:

$s = l_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) - l_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right)$

$s = \left( \frac{H}{h} - 1 \right) (l_2 - l_1)$

Выразим отношение $\frac{H}{h}$:

$\frac{H}{h} - 1 = \frac{s}{l_2 - l_1} \implies \frac{H}{h} = 1 + \frac{s}{l_2 - l_1} = \frac{l_2 - l_1 + s}{l_2 - l_1}$

Окончательная формула для высоты фонаря $H$:

$H = h \frac{s + l_2 - l_1}{l_2 - l_1}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$H = 1 \text{ м} \cdot \frac{1,5 \text{ м} + 1,3 \text{ м} - 0,8 \text{ м}}{1,3 \text{ м} - 0,8 \text{ м}} = 1 \cdot \frac{2,8 - 0,8}{0,5} = 1 \cdot \frac{2,0}{0,5} = 4$ м.

Ответ: $H = 4$ м.