Номер 141, страница 253 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 35. Волновые свойства света. Олимпиадные задачи - номер 141, страница 253.

Условие.

O41. Собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 10$ см разрезана по диаметру, и части линзы раздвинуты на расстояние $h = 0,5$ мм. Перед линзой на расстоянии $d = 15$ см находится точечный источник монохроматического света с длиной волны $\lambda = 500$ нм. Оцените число $\text{N}$ светлых интерференционных полос на экране, расположенном за линзой на расстоянии $L = 60$ см. Промежуток между частями линзы закрыт непрозрачной перегородкой.

☑ $N \approx 25$.

Решение. Раздвинутые части линзы дают два изображения $A_1$ и $A_2$ источника $\text{A}$ (см. рисунок) на расстоянии $H = \frac{hd}{d - F}$ друг от друга и на расстоянии $L_1 = L - \frac{dF}{d - F}$ от экрана.

Ширина полосы перекрытия на экране двух световых пучков $a = h(L + d)/d$. Поскольку ширина интерференционных полос на экране $x = \lambda L_1/H$ (см. задачу 35.5), получаем $N \approx a/x \approx 25$.

Решение.

Дано:
Фокусное расстояние линзы, $F = 10 \text{ см}$
Расстояние, на которое раздвинуты части линзы, $h = 0,5 \text{ мм}$
Расстояние от источника до линзы, $d = 15 \text{ см}$
Длина волны света, $\lambda = 500 \text{ нм}$
Расстояние от линзы до экрана, $L = 60 \text{ см}$

$F = 0,1 \text{ м}$
$h = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$d = 0,15 \text{ м}$
$\lambda = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$L = 0,6 \text{ м}$

Найти:
Число светлых интерференционных полос, $N$.

Решение:
Данная оптическая система аналогична опыту Юнга с двумя щелями. Две половины собирающей линзы создают два мнимых когерентных источника света $A_1$ и $A_2$ из одного реального источника $A$. Свет от этих двух источников интерферирует на экране.

1. Найдем положение мнимых источников.Расстояние от линзы до изображений $f'$ определяется формулой тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$
Отсюда расстояние до изображений:
$f' = \frac{dF}{d-F} = \frac{15 \text{ см} \cdot 10 \text{ см}}{15 \text{ см} - 10 \text{ см}} = \frac{150}{5} \text{ см} = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$.
Изображения $A_1$ и $A_2$ находятся на расстоянии $f' = 30$ см за линзой.

2. Найдем расстояние $H$ между мнимыми источниками $A_1$ и $A_2$.Каждая половина линзы смещена на $h/2$ от главной оптической оси. Это приводит к смещению изображений. Расстояние между изображениями определяется по формуле:
$H = \frac{hd}{d-F} = \frac{(0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot 0,15 \text{ м}}{0,15 \text{ м} - 0,1 \text{ м}} = \frac{0,075 \cdot 10^{-3}}{0,05} \text{ м} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

3. Найдем расстояние $L_1$ от мнимых источников до экрана.
$L_1 = L - f' = 60 \text{ см} - 30 \text{ см} = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$.

4. Определим ширину интерференционной полосы $x$ на экране.Ширина светлой (или темной) полосы в опыте Юнга вычисляется по формуле:
$x = \frac{\lambda L_1}{H} = \frac{(5 \cdot 10^{-7} \text{ м}) \cdot 0,3 \text{ м}}{1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{1,5 \cdot 10^{-7}}{1,5 \cdot 10^{-3}} \text{ м} = 10^{-4} \text{ м} = 0,1 \text{ мм}$.

5. Найдем ширину области $a$, где наблюдается интерференция.Эта область представляет собой зону перекрытия световых пучков от двух половин линзы. Ее ширину можно оценить из геометрических соображений (подобие треугольников, образованных лучами от источника, проходящими через центры половин линз):
$a = h \frac{L+d}{d} = (0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot \frac{0,6 \text{ м} + 0,15 \text{ м}}{0,15 \text{ м}} = (0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot \frac{0,75}{0,15} = (0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot 5 = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2,5 \text{ мм}$.

6. Оценим число светлых интерференционных полос $N$.Число полос равно отношению ширины области интерференции к ширине одной полосы:
$N = \frac{a}{x} = \frac{2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{10^{-4} \text{ м}} = 25$.

Ответ: $N = 25$.