Номер 35.7, страница 251 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 35. Волновые свойства света. Упражнения - номер 35.7, страница 251.

Условие.

35.7. Свет, имеющий длину волны $\lambda$, падает наклонно на дифракционную решетку с периодом $\text{d}$. Угол падения равен $\alpha$. Какой вид имеет в этом случае формула дифракционной решетки?

☑ $d(\sin\varphi - \sin\alpha) = k\lambda$, где $k = 0, \pm1, \pm2,...$

Решение. Разность хода между волнами, идущими от краев соседних щелей (см. рис. а), составляет $\Delta d = AD - BC = d(\sin\varphi - \sin\alpha)$. Дифракционный максимум наблюдается при $\Delta d = k\lambda$, т. е. $d(\sin\varphi - \sin\alpha) = k\lambda$. Здесь $\text{k}$ — любое целое число; $k = 0$ соответствует случаю $\varphi = \alpha$ (при падении белого света именно в этом направлении наблюдается белый центральный максимум). Значения $k > 0$ и $k < 0$ соответствуют дифракционным максимумам по разные стороны от центрального (см. рис. б).

Рис. а

Рис. б

Решение.

Дано:

Длина волны света: $ \lambda $

Период дифракционной решетки: $ d $

Угол падения света: $ \alpha $

Найти:

Формула дифракционной решетки - ?

Решение:

Рассмотрим две когерентные волны, идущие от двух соседних щелей дифракционной решетки. Пусть плоская световая волна падает на решетку под углом $ \alpha $ к нормали, а дифрагированный свет наблюдается под углом $ \varphi $ к нормали, как показано на рисунке a в условии.

Условием возникновения главного дифракционного максимума является то, что оптическая разность хода $ \Delta $ между лучами от соседних щелей должна быть равна целому числу длин волн:

$ \Delta = k\lambda $, где $ k $ — целое число ($ k = 0, \pm1, \pm2, ... $), называемое порядком максимума.

Найдем разность хода, используя геометрию, представленную на рисунке a. Разность хода складывается из двух частей: до решетки и после нее.

1. До падения на решетку луч, идущий к щели B, проходит большее расстояние, чем луч, идущий к щели A. Эта разность хода равна длине катета BC в прямоугольном треугольнике ABC. Гипотенуза AB равна периоду решетки $ d $. Тогда $ BC = AB \sin\alpha = d \sin\alpha $.

2. После прохождения решетки луч, вышедший из щели A, проходит до волнового фронта (перпендикуляра BD) большее расстояние, чем луч из щели B. Эта разность хода равна длине катета AD в прямоугольном треугольнике ABD. Тогда $ AD = AB \sin\varphi = d \sin\varphi $.

Общая оптическая разность хода $ \Delta $ между двумя лучами равна $ \Delta = AD - BC $.

Подставляя найденные выражения для AD и BC, получаем:

$ \Delta = d \sin\varphi - d \sin\alpha = d(\sin\varphi - \sin\alpha) $.

Приравнивая это выражение к условию максимума, получаем искомую формулу дифракционной решетки для случая наклонного падения света:

$ d(\sin\varphi - \sin\alpha) = k\lambda $

При $ k=0 $ (центральный максимум) получаем $ \sin\varphi = \sin\alpha $, то есть $ \varphi = \alpha $. Это означает, что максимум нулевого порядка наблюдается в том же направлении, в котором свет прошел бы без дифракции. Значения $ k > 0 $ и $ k < 0 $ соответствуют дифракционным максимумам более высоких порядков, расположенным по разные стороны от центрального.

Ответ: $ d(\sin\varphi - \sin\alpha) = k\lambda $, где $ k = 0, \pm1, \pm2, ... $