Номер 35.4, страница 248 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 35. Волновые свойства света. Упражнения - номер 35.4, страница 248.

Условие.

35.4. На дифракционную решетку с периодом $d = 14 \text{ мкм}$ падает нормально монохроматическая световая волна. При этом расстояние $\text{s}$ на экране между максимумами второго и третьего порядка равно 8,7 см. Какова длина волны $\lambda$ падающего света, если расстояние от решетки до экрана $L = 2,0 \text{ м}$?

☑ 0,61 мкм.

Решение. Расстояние между максимумами $s = L \operatorname{tg} \varphi_3 - L \operatorname{tg} \varphi_2$ (см. рисунок); поскольку $s \ll L$, можно заменить тангенсы малых углов $\varphi_2$, $\varphi_3$ их синусами. Используя формулу дифракционной решетки $d \sin \varphi = k \lambda$, получаем $\lambda = \frac{sd}{L} = 6,1 \cdot 10^{-7} \text{ (м)}$.

Решение.

Дано:

Период дифракционной решетки $d = 14 \text{ мкм} = 14 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Расстояние на экране между максимумами второго и третьего порядка $s = 8,7 \text{ см} = 0,087 \text{ м}$

Расстояние от решетки до экрана $L = 2,0 \text{ м}$

Порядки максимумов $k_2 = 2$, $k_3 = 3$

Найти:

Длину волны падающего света $\lambda$.

Решение:

Условие для наблюдения максимумов дифракционной картины описывается формулой дифракционной решетки:

$d \sin{\varphi_k} = k \lambda$

где $d$ – период решетки, $\varphi_k$ – угол, под которым наблюдается максимум k-го порядка, $k$ – порядок максимума, $\lambda$ – длина волны света.

Из этой формулы можно выразить синус угла дифракции: $\sin{\varphi_k} = \frac{k \lambda}{d}$.

Расстояние от центрального максимума ($k=0$) до максимума k-го порядка на экране можно найти из геометрии установки (см. рисунок):

$x_k = L \tan{\varphi_k}$

Расстояние $s$ между максимумами второго и третьего порядков равно разности их положений на экране:

$s = x_3 - x_2 = L \tan{\varphi_3} - L \tan{\varphi_2} = L (\tan{\varphi_3} - \tan{\varphi_2})$

Поскольку расстояние до экрана $L$ значительно больше расстояния между максимумами $s$ ($L \gg s$), углы дифракции $\varphi_2$ и $\varphi_3$ малы. Для малых углов справедливо приближение: $\tan{\varphi} \approx \sin{\varphi}$.

Тогда можно записать:

$\tan{\varphi_2} \approx \sin{\varphi_2} = \frac{2 \lambda}{d}$

$\tan{\varphi_3} \approx \sin{\varphi_3} = \frac{3 \lambda}{d}$

Подставим эти выражения в формулу для $s$:

$s \approx L \left( \frac{3 \lambda}{d} - \frac{2 \lambda}{d} \right) = L \frac{\lambda}{d}$

Теперь выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{s \cdot d}{L}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\lambda = \frac{0,087 \text{ м} \cdot 14 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{2,0 \text{ м}} = \frac{1,218 \cdot 10^{-6}}{2,0} \text{ м} = 0,609 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Переведем результат в микрометры (1 мкм = $10^{-6}$ м):

$\lambda = 0,609 \text{ мкм}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\lambda \approx 0,61 \text{ мкм}$.

Ответ: $\lambda = 0,61 \text{ мкм}$.