Номер 34.1, страница 245 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 34. Электромагнитное поле. Электромагнитные волны - номер 34.1, страница 245.

Условие.

34.1. Емкость конденсатора колебательного контура радиоприемника можно изменять от $C_1$ до $C_2 > C_1$. Какой комплект сменных катушек следует взять, чтобы диапазон длин волн, на которые можно настраивать приемник, был как можно более широким и не содержал «просветов»? Какова верхняя граница $\lambda_{max}$ этого диапазона, если его нижняя граница $\lambda_{min}$, а комплект состоит из $\text{N}$ катушек?

☑ Индуктивность катушек $L_k = \frac{1}{C_1} \left(\frac{\lambda_{min}}{2\pi c}\right)^2 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{k}$, где $k = 1, 2, \dots, N; \lambda_{max} = \lambda_{min} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N/2}$.

Решение. Из соотношения $\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{L_1 C_1}$ находим индуктивность первой катушки: $L_1 = \frac{\lambda_{min}^2}{4\pi^2 c^2 C_1}$. Чтобы в диапазоне не было «просветов», индуктивности катушек должны удовлетворять условию $2\pi c \sqrt{L_k C_2} = 2\pi c \sqrt{L_{k+1} C_1}$, откуда $L_{k+1} = L_k C_2 / C_1$, т. е. последовательность $L_k$ составляет геометрическую прогрессию. Следовательно, наибольшая из индуктивностей катушек $L_N = L_1 (C_2 / C_1)^{N}$, так что $\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{L_N C_2} = \lambda_{min} (C_2 / C_1)^{N/2}$.

Решение.

Дано:

Емкость конденсатора: от $C_1$ до $C_2$ ($C_2 > C_1$)

Количество сменных катушек: $N$

Нижняя граница всего диапазона длин волн: $\lambda_{min}$

Условие: диапазон длин волн должен быть сплошным ("без просветов") и максимально широким.

Найти:

1. Формулу для индуктивности $k$-ой катушки $L_k$.

2. Верхнюю границу диапазона $\lambda_{max}$.

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с его индуктивностью $L$ и емкостью $C$ по формуле Томсона, с учетом связи длины волны со скоростью света $c$ и периодом $T$: $\lambda = cT = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$.

1. Определение индуктивностей катушек $L_k$

Нижняя граница всего диапазона $\lambda_{min}$ достигается при минимальной индуктивности (возьмем первую катушку $L_1$) и минимальной емкости ($C_1$):

$\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{L_1 C_1}$

Отсюда можно выразить индуктивность первой катушки $L_1$:

$\lambda_{min}^2 = (2\pi c)^2 L_1 C_1 \implies L_1 = \frac{\lambda_{min}^2}{4\pi^2 c^2 C_1}$

Чтобы диапазон принимаемых волн был сплошным («без просветов»), максимальная длина волны, достигаемая с катушкой $L_k$ (при емкости $C_2$), должна быть равна минимальной длине волны, достигаемой со следующей катушкой $L_{k+1}$ (при емкости $C_1$).

$\lambda_{max}(L_k) = \lambda_{min}(L_{k+1})$

$2\pi c \sqrt{L_k C_2} = 2\pi c \sqrt{L_{k+1} C_1}$

Возведем обе части в квадрат и сократим общие множители:

$L_k C_2 = L_{k+1} C_1$

Отсюда получаем рекуррентное соотношение для индуктивностей:

$L_{k+1} = L_k \frac{C_2}{C_1}$

Это соотношение показывает, что последовательность индуктивностей $L_1, L_2, \dots, L_N$ представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{C_2}{C_1}$.

Тогда индуктивность $k$-ой катушки можно выразить через индуктивность первой катушки $L_1$:

$L_k = L_1 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{k-1}$

Подставим ранее найденное выражение для $L_1$:

$L_k = \frac{\lambda_{min}^2}{4\pi^2 c^2 C_1} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{k-1} = \frac{1}{C_1}\left(\frac{\lambda_{min}}{2\pi c}\right)^2 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{k-1}$

Это и есть искомая формула для индуктивности катушек из комплекта.

Ответ: $L_k = \frac{1}{C_1}\left(\frac{\lambda_{min}}{2\pi c}\right)^2 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{k-1}$, где $k = 1, 2, \dots, N$.

2. Определение верхней границы диапазона $\lambda_{max}$

Максимальная длина волны всего диапазона $\lambda_{max}$ достигается при использовании последней, $N$-ой катушки с индуктивностью $L_N$ и максимальной емкости конденсатора $C_2$.

$\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{L_N C_2}$

Найдем индуктивность $L_N$, подставив $k=N$ в полученную выше формулу:

$L_N = L_1 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N-1}$

Теперь подставим это выражение в формулу для $\lambda_{max}$:

$\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{L_1 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N-1} C_2} = 2\pi c \sqrt{L_1 C_1 \frac{C_2}{C_1} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N-1}} = 2\pi c \sqrt{L_1 C_1 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N}}$

Вынесем $\sqrt{L_1 C_1}$ из-под корня:

$\lambda_{max} = (2\pi c \sqrt{L_1 C_1}) \sqrt{\left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N}}$

Вспомним, что $2\pi c \sqrt{L_1 C_1} = \lambda_{min}$. Тогда:

$\lambda_{max} = \lambda_{min} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N/2}$

Ответ: $\lambda_{max} = \lambda_{min} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N/2}$.