Номер 137, страница 243 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 33. Свободные электромагнитные колебания. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 137, страница 243.

Условие.

O37. В цепи (см. рисунок) $C_1 = C_2 = C$. До замыкания ключа напряжение на первом конденсаторе равно $U_1$, а второй конденсатор не заряжен. Найдите максимальное значение $I_M$ силы тока через катушку с индуктивностью $\text{L}$ после замыкания ключа. Сопротивлением катушки можно пренебречь.

☑ $I_M = U_1\sqrt{\frac{C}{2L}}$

Решение. Сразу же после замыкания ключа (еще до возникновения тока в катушке) происходит перераспределение заряда между конденсаторами. В результате энергия системы уменьшается вдвое (см. задачу О37). В дальнейшем потерь энергии нет, поэтому $\frac{LI_M^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{CU_1^2}{2}$, откуда $I_M = U_1\sqrt{\frac{C}{2L}}$.

Решение.

Дано:

Емкости конденсаторов: $C_1 = C_2 = C$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_1$

Начальное напряжение на втором конденсаторе: $U_2 = 0$

Индуктивность катушки: $L$

Сопротивление катушки: $R = 0$

Найти:

Максимальное значение силы тока через катушку: $I_m$

Решение:

В начальный момент времени, до замыкания ключа, энергия системы сосредоточена в первом конденсаторе. Начальная энергия системы равна:

$W_0 = \frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{C U_1^2}{2}$

Заряд на первом конденсаторе до замыкания ключа:

$q_0 = C_1 U_1 = C U_1$

Сразу после замыкания ключа конденсаторы $C_1$ и $C_2$ оказываются соединенными параллельно. В этот момент ток через катушку индуктивности еще не успевает возникнуть, так как индуктивность препятствует мгновенному изменению тока. Происходит очень быстрое перераспределение заряда между конденсаторами. Поскольку они соединены, на них устанавливается одинаковое напряжение $U'$.

По закону сохранения заряда, суммарный заряд на двух конденсаторах будет равен начальному заряду на первом конденсаторе:

$q_0 = q_1' + q_2' = C_1 U' + C_2 U' = (C_1 + C_2)U'$

Общая емкость параллельно соединенных конденсаторов $C_{общ} = C_1 + C_2 = 2C$.

Подставим значения:

$C U_1 = (2C) U'$

Отсюда находим напряжение на конденсаторах после перераспределения заряда:

$U' = \frac{C U_1}{2C} = \frac{U_1}{2}$

Энергия, запасенная в конденсаторах после этого процесса, будет начальной энергией для последующих электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из катушки и двух конденсаторов.

$W_{нач} = \frac{C_{общ} (U')^2}{2} = \frac{2C (\frac{U_1}{2})^2}{2} = \frac{2C \frac{U_1^2}{4}}{2} = \frac{C U_1^2}{4}$

Заметим, что $W_{нач} = \frac{W_0}{2}$, то есть половина начальной энергии была потеряна (превратилась в тепло) в процессе перераспределения заряда.

Далее в контуре возникают свободные электромагнитные колебания. По закону сохранения энергии для LC-контура, максимальная энергия электрического поля конденсаторов переходит в максимальную энергию магнитного поля катушки.

$W_{нач} = W_{L, max}$

Энергия катушки при максимальном токе $I_m$ равна:

$W_{L, max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Приравниваем энергии:

$\frac{C U_1^2}{4} = \frac{L I_m^2}{2}$

Выразим $I_m^2$:

$I_m^2 = \frac{2 C U_1^2}{4L} = \frac{C U_1^2}{2L}$

Отсюда находим максимальное значение силы тока:

$I_m = \sqrt{\frac{C U_1^2}{2L}} = U_1 \sqrt{\frac{C}{2L}}$

Ответ: $I_m = U_1\sqrt{\frac{C}{2L}}$