Номер 134, страница 238 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 134, страница 238.

Условие.

О34. Индукция однородного магнитного поля в цилиндрическом сердечнике радиусом $\text{r}$ (см. рисунок) возрастает со временем по закону $B = kt$. Проволочное кольцо радиусом $2r$ имеет общую с сердечником ось. Какова разность потенциалов между точками А и В? Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к точкам А и В? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением кольца.

Решение. Разность потенциалов между любыми двумя точками кольца равна нулю (см. задачу 32.9). Однако это не значит, что вольтметр покажет нуль: хотя бы ничтожная часть текущего по кольцу тока ответвится и пойдет через вольтметр, вызывая отклонение его стрелки от нулевого деления (направления токов показаны на рис. а).

Puc. a

Puc. б

Puc. в

Из-за большого сопротивления вольтметра его подключение практически не изменяет силы тока в кольце и не приводит к возникновению кулоновского поля. Так как ЭДС индукции равномерно распределена вдоль кольца, на участке AB, представляющем собой четверть кольца, $\mathcal{E}_{AB} = \frac{\pi r^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{\pi kr^2}{4}$. Поскольку магнитный поток через выделенный на рис. а контур равен нулю*, полная ЭДС в этом контуре также равна нулю, т. е. $|\mathcal{E}_{AVB}| = |\mathcal{E}_{AB}|$. Вольтметр показывает $U_v = I_v R_v = \mathcal{E}_{AB} = \pi kr^2/4$. Однако этот ответ не является исчерпывающим: в рассматриваемой ситуации показание вольтметра зависит не только от точек его подключения, но и от расположения подключенных к нему проводов. Так, в показанной на рис. б ситуации вольтметр покажет $U_v = 3\pi kr^2/4$. А поскольку провода, подключенные к вольтметру, могут образовывать один или несколько витков вокруг сердечника (см. рис. в), окончательный ответ имеет вид: $U_v = \frac{2N+1}{4}\pi kr^2$, где $N=0, 1, 2, ...$

Решение.

Какова разность потенциалов между точками А и В?

Изменяющееся во времени магнитное поле, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, создает в окружающем пространстве вихревое (непотенциальное) электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна ЭДС индукции: $ε_{инд} = \oint \vec{E}_{вихр} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}$.

Разность потенциалов по определению — это работа, совершаемая силами потенциального (кулоновского) электрического поля при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую: $\Delta\varphi = \varphi_B - \varphi_A = -\int_A^B \vec{E_p} \cdot d\vec{l}$.

В рассматриваемой задаче отсутствуют статические заряды, которые могли бы создавать потенциальное электрическое поле. Электрическое поле в кольце является исключительно вихревым ($\vec{E_p} = 0$). Следовательно, работа кулоновских сил равна нулю, а значит и разность потенциалов между любыми двумя точками кольца, включая А и В, равна нулю.

Ответ: Разность потенциалов между точками А и В равна нулю.

Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к точкам А и В?

Дано

Радиус сердечника: $r$

Радиус кольца: $R = 2r$

Закон изменения индукции магнитного поля: $B(t) = kt$

Точки А и В расположены на кольце и делят его на дуги в соотношении 1:3.

Найти:

$U_V$ - показание вольтметра.

Решение

Вольтметр измеряет не разность потенциалов, а ЭДС индукции в том замкнутом контуре, который образуют сам вольтметр, его соединительные провода и участок проводника (в данном случае дуга АВ), к которому он подключен. Показание вольтметра $U_V$ равно модулю скорости изменения магнитного потока $\Phi_{контура}$ через площадь, ограниченную этим контуром:

$U_V = |ε_{контура}| = \left|-\frac{d\Phi_{контура}}{dt}\right|$

Магнитное поле отлично от нуля только внутри сердечника радиусом $r$. Поэтому магнитный поток создается только той частью площади контура, которая находится внутри сердечника.

Показание вольтметра будет зависеть от того, как именно проложены соединительные провода, поскольку от этого зависит площадь контура, пронизываемая магнитным потоком. Рассмотрим простейший случай, когда провода соединяют точки А и В по кратчайшему пути, образуя контур с меньшей из двух дуг (четверть окружности). Этот контур охватывает сектор, равный четверти площади сердечника.

Площадь этой части сердечника равна $S_{контура} = \frac{1}{4}\pi r^2$.

Магнитный поток через эту площадь равен:

$\Phi_{контура} = B(t) \cdot S_{контура} = kt \cdot \frac{\pi r^2}{4}$

Тогда показание вольтметра будет:

$U_V = \left|\frac{d}{dt} \left(kt \frac{\pi r^2}{4}\right)\right| = \frac{k\pi r^2}{4}$

Важно отметить, что если бы провода вольтметра были проложены так, что они охватывали бы большую дугу (три четверти окружности), то контур включал бы в себя $3/4$ площади сердечника, и показание было бы $U_V = \frac{3k\pi r^2}{4}$. В общем случае, показание зависит от способа подключения и геометрии проводов.

Ответ: Показание вольтметра зависит от способа его подключения. При подключении по кратчайшему пути (через дугу, составляющую четверть кольца), напряжение будет равно $U_V = \frac{k\pi r^2}{4}$.