Номер 132, страница 237 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 132, страница 237.

Условие.

O32. Через катушку (см. задачу О31) течет постоянный ток. В момент $t_0$ источник тока отключают и катушку замыкают накоротко (см. рисунок). Как выглядит график зависимости силы тока от времени? Каково характерное время $\tau$ убывания тока в цепи?

☑ См. рисунок; $\tau \sim L/R$.

Решение. График зависимости $I(t)$ показан на рисунке (ср. с задачей О31). Оценить время $\tau$ можно, например, методом размерностей: $\tau$ может зависеть от $L, R$ и, возможно, от силы тока $I_0$ в момент $t_0$. Единицы измерения этих величин: $\text{1}$ Гн $= 1$ Ом $\cdot$ с, $\text{1}$ Ом и $\text{1}$ А. Величину, имеющую размерность времени, можно получить только одним способом — разделив $\text{L}$ на $\text{R}$. Значит, $\tau \sim L/R$. Как видим, $\tau$ не зависит от $I_0$. Можно получить этот результат и иначе: за время $\tau$ должно выделиться количество теплоты $Q \sim I_0^2 R \tau$, сравнимое с начальной энергией магнитного поля тока $W = LI_0^2 / 2$. Отсюда также получаем $\tau \sim L/R$.

Решение.

Решение

Как выглядит график зависимости силы тока от времени?

До момента времени $t_0$ через катушку, подключенную к источнику, течет постоянный ток $I_0$. Поскольку ток постоянен, его производная по времени равна нулю ($dI/dt = 0$), и, следовательно, ЭДС самоиндукции в катушке отсутствует: $\mathcal{E}_L = -L \frac{dI}{dt} = 0$. График тока в этот промежуток времени представляет собой горизонтальную линию $I(t) = I_0$.

В момент времени $t_0$ источник отключают и катушку замыкают накоротко. В соответствии с явлением самоиндукции (электромагнитной инерции), ток в катушке не может измениться мгновенно. Поэтому сразу после замыкания, в момент $t = t_0^+$, сила тока в катушке сохраняет свое прежнее значение $I_0$.

При $t > t_0$ цепь представляет собой замкнутый контур, состоящий из катушки индуктивности $L$ и ее собственного сопротивления $R$ (или внешнего сопротивления, на которое она замкнута). Энергия магнитного поля, запасенная в катушке ($W = LI_0^2/2$), начинает расходоваться, выделяясь в виде тепла на сопротивлении $R$.

Применим второе правило Кирхгофа для этого замкнутого контура. Сумма падений напряжений на элементах контура равна нулю. Падение напряжения на сопротивлении равно $U_R = IR$, а на индуктивности — $U_L = L \frac{dI}{dt}$.

Уравнение для контура имеет вид:

$L \frac{dI}{dt} + IR = 0$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения разделим переменные:

$\frac{dI}{I} = -\frac{R}{L} dt$

Проинтегрируем это выражение, учитывая начальное условие: в момент $t_0$ ток был равен $I_0$.

$\int_{I_0}^{I(t)} \frac{dI'}{I'} = \int_{t_0}^{t} -\frac{R}{L} dt'$

$\ln(I(t)) - \ln(I_0) = -\frac{R}{L}(t - t_0)$

$\ln\left(\frac{I(t)}{I_0}\right) = -\frac{t - t_0}{L/R}$

Выражая $I(t)$, получаем закон изменения тока со временем:

$I(t) = I_0 e^{-\frac{t - t_0}{L/R}}$

Эта функция описывает экспоненциальное убывание тока от начального значения $I_0$ до нуля.Таким образом, график зависимости $I(t)$ состоит из двух частей:

1. При $t < t_0$ — горизонтальная прямая $I = I_0$.

2. При $t \ge t_0$ — экспоненциально убывающая кривая, начинающаяся в точке $(t_0, I_0)$ и асимптотически стремящаяся к нулю. Это в точности соответствует графику на рисунке.

Ответ: График зависимости силы тока от времени представляет собой горизонтальную линию $I = I_0$ до момента $t_0$, а затем, при $t \ge t_0$, ток убывает по экспоненциальному закону $I(t) = I_0 e^{-(t - t_0)/(L/R)}$, асимптотически приближаясь к нулю.

Каково характерное время убывания тока в цепи?

Характерное время убывания (или постоянная времени) $\tau$ для экспоненциального процесса — это время, за которое измеряемая величина уменьшается в $e$ раз ($e \approx 2.718$ — основание натурального логарифма).

Из полученного ранее закона изменения тока $I(t) = I_0 e^{-\frac{t - t_0}{L/R}}$ видно, что показатель экспоненты имеет вид $-(t-t_0)/\tau$. Сравнивая это выражение со стандартной формой, мы напрямую определяем постоянную времени для данной цепи:

$\tau = \frac{L}{R}$

Физический смысл постоянной времени $\tau$ состоит в том, что за промежуток времени, равный $\tau$, ток в цепи уменьшается до значения $I_0/e$. Проверим это, подставив $t = t_0 + \tau$:

$I(t_0 + \tau) = I_0 e^{-\frac{(t_0 + \tau) - t_0}{\tau}} = I_0 e^{-\frac{\tau}{\tau}} = I_0 e^{-1} = \frac{I_0}{e} \approx 0.37 I_0$

Этот же результат можно получить из соображений размерности, как предложено в условии. Характерное время $\tau$ должно определяться параметрами цепи: индуктивностью $L$, сопротивлением $R$ и, возможно, начальным током $I_0$. Запишем их единицы измерения в системе СИ (через основные единицы вольт, ампер, секунда):

Размерность индуктивности: $[L] = 1 \text{ Гн} = 1 \frac{В \cdot с}{А}$.

Размерность сопротивления: $[R] = 1 \text{ Ом} = 1 \frac{В}{А}$.

Размерность силы тока: $[I_0] = 1 \text{ А}$.

Мы ищем комбинацию $L^a R^b I_0^c$, которая имела бы размерность времени, т.е. секунд (с).

$[с] = \left(\frac{В \cdot с}{А}\right)^a \left(\frac{В}{А}\right)^b (А)^c = В^{a+b} \cdot с^a \cdot А^{-a-b+c}$

Приравнивая показатели степеней для каждой единицы измерения, получаем систему уравнений:

Для секунд (с): $a = 1$.

Для вольт (В): $a+b = 0 \implies 1+b = 0 \implies b = -1$.

Для ампер (А): $-a-b+c = 0 \implies -1 - (-1) + c = 0 \implies c = 0$.

Следовательно, единственная комбинация этих величин, имеющая размерность времени, — это $L^1 R^{-1} I_0^0 = L/R$. Это подтверждает, что характерное время затухания тока в LR-цепи пропорционально $L/R$ и не зависит от начальной силы тока.

Ответ: Характерное время убывания тока в цепи равно $\tau = L/R$.