Номер 32.11, страница 234 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 32. Электромагнитная индукция. Упражнения - номер 32.11, страница 234.

Условие.

32.11. Металлический стержень может скользить без трения по параллельным горизонтальным рельсам, находящимся на расстоянии $\text{l}$ друг от друга. Рельсы соединены перемычкой, имеющей сопротивление $\text{R}$ (см. рисунок). Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$. Как будет двигаться стержень, если к нему приложить постоянную силу $\vec{F}$? Электрическим сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Явление самоиндукции не учитывайте.

Решение. При движении стержня в нем индуцируется ЭДС $\mathscr{E}_{i} = Bvl$ и возникает индукционный ток $I = \mathscr{E}_{i}/R$. На стержень действует сила Ампера $F_{A} = BIl = B^2l^2v/R$, направленная противоположно скорости (эта сила напоминает силу сопротивления среды). Поэтому характер движения стержня не отличается от рассмотренного в задаче 32.7. Установившуюся скорость движения $v = \frac{FR}{B^2l^2}$ можно найти из условия $F_A = F$.

Решение.

Дано:

Расстояние между рельсами: $l$

Сопротивление перемычки: $R$

Вектор магнитной индукции: $\vec{B}$ (модуль $B$)

Приложенная постоянная сила: $\vec{F}$ (модуль $F$)

Масса стержня: $m$

Найти:

Описать характер движения стержня.

Решение:

Когда к стержню прикладывают постоянную силу $\vec{F}$, он начинает двигаться с ускорением. Пусть в некоторый момент времени скорость стержня равна $\vec{v}$.

1. В движущемся в магнитном поле проводнике (стержне) возникает ЭДС индукции. Так как стержень, магнитное поле и скорость взаимно перпендикулярны, модуль ЭДС индукции равен:

$\mathcal{E}_i = Bvl$

По правилу правой руки, ЭДС будет направлена так, чтобы создавать ток, текущий по стержню вверх (от нижнего рельса к верхнему на рисунке).

2. Так как стержень и рельсы образуют замкнутый контур с сопротивлением $R$, в контуре потечет индукционный ток $I$. По закону Ома для полной цепи (пренебрегая сопротивлением стержня и рельсов):

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{Bvl}{R}$

3. На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера $\vec{F}_A$. Её модуль равен:

$F_A = IBl = (\frac{Bvl}{R})Bl = \frac{B^2l^2v}{R}$

По правилу левой руки, сила Ампера $\vec{F}_A$ направлена влево, то есть против направления скорости $\vec{v}$ и приложенной силы $\vec{F}$. Таким образом, сила Ампера является силой торможения.

4. Запишем второй закон Ньютона для стержня в проекции на горизонтальную ось, направленную вправо:

$ma = F - F_A$

Подставим выражение для силы Ампера:

$ma = F - \frac{B^2l^2v}{R}$

Проанализируем это уравнение движения:

• В начальный момент времени ($t=0$), скорость стержня $v=0$. Сила Ампера $F_A = 0$. Ускорение стержня максимально: $a_{max} = \frac{F}{m}$. Стержень начинает движение равноускоренно.
• По мере увеличения скорости $v$, растет и тормозящая сила Ампера $F_A$.
• Из-за роста $F_A$ результирующая сила $F_{рез} = F - F_A$ уменьшается, а следовательно, уменьшается и ускорение $a = \frac{F_{рез}}{m}$. Движение становится ускоренным с убывающим ускорением.
• Движение стержня стабилизируется, когда ускорение станет равным нулю ($a=0$). Это произойдет, когда результирующая сила станет равна нулю, то есть когда тормозящая сила Ампера уравновесит приложенную силу $F$:

  $F_A = F$

  $\frac{B^2l^2v_{уст}}{R} = F$

• С этого момента стержень будет двигаться с постоянной установившейся скоростью $v_{уст}$, которую можно найти из последнего равенства:

  $v_{уст} = \frac{FR}{B^2l^2}$

Таким образом, стержень сначала движется с уменьшающимся ускорением, а затем, по достижении установившейся скорости, продолжает движение равномерно и прямолинейно.

Ответ: Стержень начнет двигаться с ускорением, которое будет уменьшаться по мере роста его скорости. В итоге, когда тормозящая сила Ампера уравновесит приложенную силу, ускорение станет равным нулю, и стержень будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью $v = \frac{FR}{B^2l^2}$.