Номер 32.12, страница 234 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 32.12, страница 234.

Условие.

32.12. Два одинаковых сверхпроводящих кольца могут свободно перемещаться вдоль одной прямой, причем плоскости колец остаются перпендикулярными этой прямой (см. рисунок). В начальный момент расстояние между кольцами намного превышает их размеры; по кольцам текут в одном направлении одинаковые токи $I_0$. Какие токи $\text{I}$ уста- новятся в кольцах после того, как они сблизятся вплотную? Как при этом изменится энергия магнитного поля?

☑ $I = I_0/2$; энергия поля уменьшится вдвое.

Решение. После сближения колец их поля дают одинако- вый вклад в общий магнитный поток. Поскольку магнит- ный поток через каждое из колец остается неизменным (см. задачу 32.3), $LI_0 = 2LI$, где $\text{L}$ — индуктивность коль- ца. Отсюда $I = I_0/2$. Сблизившиеся кольца, по которым текут токи $I_0/2$, создают такое же магнитное поле, как одно кольцо с током $I_0$. Следовательно, энергия магнит- ного поля составляет теперь половину начальной энергии поля. Другая половина начальной энергии перешла в ки- нетическую энергию колец и в энергию электромагнитного излучения, возникающего при ускоренном движении притягивающихся колец.

Решение.

Дано

Два одинаковых сверхпроводящих кольца
Начальный ток в каждом кольце: $I_0$
Начальное расстояние между кольцами велико ($d_0 \rightarrow \infty$)
Конечное расстояние между кольцами пренебрежимо мало ($d_f \rightarrow 0$)

Найти

Конечный ток в кольцах: $I - ?$
Изменение энергии магнитного поля: $\frac{W_{кон}}{W_{нач}} - ?$

Решение

Поскольку кольца являются сверхпроводящими, полный магнитный поток, пронизывающий каждое из колец, сохраняется в процессе их сближения.

Магнитный поток $\Phi$, пронизывающий одно из колец, складывается из потока от собственного тока (определяемого индуктивностью $L$) и потока от тока в другом кольце (определяемого взаимной индуктивностью $M$). Для первого кольца:
$\Phi_1 = L I_1 + M I_2$

В начальном состоянии кольца находятся очень далеко друг от друга. В этом случае их взаимная индукция пренебрежимо мала, $M_{нач} \approx 0$. Ток в каждом кольце равен $I_0$. Таким образом, начальный магнитный поток через каждое кольцо составляет:
$\Phi_{нач} = L I_0 + M_{нач} I_0 \approx L I_0$

В конечном состоянии кольца сближаются вплотную. В этом положении почти весь магнитный поток, создаваемый одним кольцом, проходит через другое. Это означает, что коэффициент взаимной индукции становится практически равным индуктивности одного кольца: $M_{кон} \approx L$. Обозначим конечный ток в каждом кольце через $I$ (токи будут одинаковы из-за симметрии системы). Конечный магнитный поток через каждое кольцо:
$\Phi_{кон} = L I + M_{кон} I \approx L I + L I = 2LI$

Из закона сохранения магнитного потока для сверхпроводящего контура имеем $\Phi_{нач} = \Phi_{кон}$:
$L I_0 = 2LI$
Отсюда находим конечный ток $I$:
$I = \frac{I_0}{2}$

Теперь определим, как изменилась энергия магнитного поля системы. Полная энергия магнитного поля двух индуктивно связанных контуров вычисляется по формуле:
$W = \frac{1}{2} L I_1^2 + \frac{1}{2} L I_2^2 + M I_1 I_2$

Начальная энергия системы, когда $M_{нач} \approx 0$ и $I_1 = I_2 = I_0$:
$W_{нач} = \frac{1}{2} L I_0^2 + \frac{1}{2} L I_0^2 + 0 \cdot I_0^2 = L I_0^2$

Конечная энергия системы, когда $M_{кон} \approx L$ и $I_1 = I_2 = I = I_0/2$:
$W_{кон} = \frac{1}{2} L I^2 + \frac{1}{2} L I^2 + M_{кон} I^2 \approx L I^2 + L I^2 = 2LI^2$
Подставляя найденное значение тока $I = I_0/2$:
$W_{кон} = 2L \left(\frac{I_0}{2}\right)^2 = 2L \frac{I_0^2}{4} = \frac{1}{2} L I_0^2$

Сравним конечную и начальную энергии:
$\frac{W_{кон}}{W_{нач}} = \frac{\frac{1}{2} L I_0^2}{L I_0^2} = \frac{1}{2}$
Следовательно, энергия магнитного поля уменьшилась вдвое.

Уменьшение энергии магнитного поля объясняется тем, что токи в кольцах текут в одном направлении, вызывая их взаимное притяжение. Кольца могут свободно перемещаться, поэтому под действием магнитной силы они ускоряются и сближаются. Работа, совершаемая силами магнитного поля, происходит за счет уменьшения энергии этого поля. Эта "потерянная" магнитная энергия преобразуется в кинетическую энергию движущихся колец, а также в энергию электромагнитного излучения, которое возникает при их ускоренном движении.

Ответ: После сближения ток в каждом кольце станет равен $I = I_0/2$, а энергия магнитного поля системы уменьшится вдвое.