Номер 133, страница 238 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 133, страница 238.

Условие.

O33. Магнитное поле имеет вертикальную ось симметрии (ось z). Проекция вектора магнитной индукции $ \vec{B} $ на эту ось $ B_z = B_0(1 + z/h_0) $. С большой высоты падает медное кольцо диаметром $ d $, имеющее электрическое сопротивление $ R $; плоскость кольца все время горизонтальна, а его центр движется вдоль оси $ z $. Найдите установившуюся скорость падения $ v $, если масса кольца равна $ m $. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

☑ $ v = mgR \left( \frac{4h_0}{\pi d^2 B_0} \right)^2 $

Решение. При установившейся скорости падения потенциальная энергия кольца переходит только во внутреннюю (кольцо нагревается индукционным током). Следовательно, $ mgv\Delta t = I^2R\Delta t $, где $ I $ — сила тока, индуцированного в кольце:

$ I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{\pi d^2}{4R} \frac{\Delta B_z}{\Delta t} = \frac{\pi d^2}{4R} \frac{\Delta B_z}{\Delta z} \cdot \frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{\pi d^2 v B_0}{4Rh_0} $

Отсюда

$ v = mgR \left( \frac{4h_0}{\pi d^2 B_0} \right)^2 $

Решение.

Дано

Проекция вектора магнитной индукции: $B_z = B_0(1 + z/h_0)$
Диаметр медного кольца: $d$
Электрическое сопротивление кольца: $R$
Масса кольца: $m$

Найти:

Установившаяся скорость падения кольца: $v$

Решение

Когда медное кольцо падает в магнитном поле, изменение магнитного потока через его плоскость приводит к возникновению индукционного тока. Взаимодействие этого тока с магнитным полем создает силу Ампера (силу Лоренца), направленную против движения кольца.

Установившаяся скорость $v$ достигается тогда, когда сила тяжести $F_g$, действующая на кольцо, уравновешивается тормозящей магнитной силой $F_m$. В этом состоянии ускорение кольца равно нулю, и оно движется с постоянной скоростью.

Рассмотрим этот процесс с точки зрения закона сохранения энергии. При движении с постоянной скоростью кинетическая энергия кольца не изменяется. Следовательно, вся работа, совершаемая силой тяжести (или, что то же самое, скорость убыли потенциальной энергии), полностью переходит во внутреннюю энергию кольца, то есть в тепло, выделяемое по закону Джоуля-Ленца.

Мощность, развиваемая силой тяжести, равна: $P_g = F_g v = mgv$

Тепловая мощность, выделяемая в кольце, равна: $P_{тепл} = I^2 R$, где $I$ - сила индукционного тока.

Из условия энергетического баланса при установившейся скорости: $P_g = P_{тепл} \implies mgv = I^2 R$

Найдем силу индукционного тока $I$. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через контур: $\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt}$

Магнитный поток через кольцо площадью $S = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ равен: $\Phi = B_z S = B_0\left(1 + \frac{z}{h_0}\right) \frac{\pi d^2}{4}$

Скорость изменения потока найдем с помощью производной по времени, используя правило дифференцирования сложной функции: $\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d\Phi}{dz} \frac{dz}{dt}$

Производная потока по координате $z$: $\frac{d\Phi}{dz} = \frac{d}{dz} \left[ B_0\left(1 + \frac{z}{h_0}\right) \frac{\pi d^2}{4} \right] = \frac{B_0}{h_0} \frac{\pi d^2}{4}$

Производная $\frac{dz}{dt}$ есть скорость кольца. Поскольку кольцо падает, его координата $z$ уменьшается, поэтому $\frac{dz}{dt} = -v$.

Тогда ЭДС индукции по модулю равна: $|\mathcal{E}_i| = \left| - \frac{d\Phi}{dt} \right| = \left| \frac{d\Phi}{dz} \left(-\frac{dz}{dt}\right) \right| = \frac{B_0}{h_0} \frac{\pi d^2}{4} v$

По закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока: $I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R} = \frac{\pi d^2 B_0 v}{4Rh_0}$

Теперь подставим это выражение для тока $I$ в уравнение энергетического баланса $mgv = I^2 R$: $mgv = \left(\frac{\pi d^2 B_0 v}{4Rh_0}\right)^2 R$

$mgv = \frac{(\pi d^2 B_0)^2 v^2}{16 R^2 h_0^2} R = \frac{(\pi d^2 B_0)^2 v^2}{16 R h_0^2}$

Поскольку установившаяся скорость $v \neq 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $v$: $mg = \frac{(\pi d^2 B_0)^2 v}{16 R h_0^2}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$: $v = \frac{16 mg R h_0^2}{(\pi d^2 B_0)^2}$

Представим результат в виде, указанном в условии: $v = mgR \left(\frac{4h_0}{\pi d^2 B_0}\right)^2$

Ответ: $v = mgR\left(\frac{4h_0}{\pi d^2 B_0}\right)^2$