Номер 130, страница 236 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 32. Электромагнитная индукция. Олимпиадные задачи - номер 130, страница 236.

Условие.

O30. Виток изолированного провода изогнут в виде восьмерки (см. рисунок), так что $r_1 = 20$ мм и $r_2 = 60$ мм. В течение промежутка времени $\Delta t = 0,50$ мс однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости витка, равномерно возрастает от нуля до $B = 5$ Тл. На какое напряжение $\text{U}$ должна быть рассчитана изоляция между проводами, чтобы не произошел ее пробой?

☑ U > 38$ В.

Решение. Обозначим сопротивления верхнего и нижнего колец «восьмерки» соответственно $R_1$ и $R_2$, а индуцируемые в них ЭДС $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$. Эти ЭДС действуют в цепи навстречу друг другу. Пробой возможен между точками $\text{A}$ и $\text{B}$ на перемычке «восьмерки» (см. эквивалентную схему цепи на рисунке).

Согласно закону Ома

$I = \frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2}{R_1 + R_2}$, $U_{AB} = \mathcal{E}_2 - I R_2 = \frac{\mathcal{E}_2 R_1 + \mathcal{E}_1 R_2}{R_1 + R_2}$.

Используя закон электромагнитной индукции и учитывая, что $R_2/R_1 = r_2/r_1$, получаем $U_{AB} = \pi B r_1 r_2 / \Delta t = 38$ (В).

О31. Катушка имеет индуктивность $\text{L}$ и электрическое сопро-

Решение.

Дано:

Радиус меньшего кольца, $r_1 = 20 \text{ мм}$
Радиус большего кольца, $r_2 = 60 \text{ мм}$
Промежуток времени, $\Delta t = 0.50 \text{ мс}$
Начальная индукция магнитного поля, $B_0 = 0 \text{ Тл}$
Конечная индукция магнитного поля, $B = 5 \text{ Тл}$

Перевод в систему СИ:
$r_1 = 20 \times 10^{-3} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$
$r_2 = 60 \times 10^{-3} \text{ м} = 0.06 \text{ м}$
$\Delta t = 0.50 \times 10^{-3} \text{ с}$
Изменение магнитной индукции, $\Delta B = B - B_0 = 5 \text{ Тл}$

Найти:

Минимальное напряжение $U$, на которое должна быть рассчитана изоляция.

Решение:

При изменении магнитного потока $\Phi$ через замкнутый контур в нем возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}$, величина которой определяется законом электромагнитной индукции Фарадея:

$|\mathcal{E}| = \left|-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right|$

Магнитный поток через площадку $S$ в однородном магнитном поле, перпендикулярном этой площадке, равен $\Phi = B \cdot S$. Поскольку магнитное поле нарастает равномерно, скорость его изменения постоянна. Тогда ЭДС индукции в контуре можно рассчитать как:

$|\mathcal{E}| = S \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Виток в форме "восьмерки" состоит из двух колец, площади которых $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$. Так как провод обходит эти кольца в противоположных направлениях (например, одно по часовой стрелке, а другое — против), то согласно правилу Ленца, индуцируемые в них ЭДС $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$ будут направлены навстречу друг другу. Электрическая схема такого витка эквивалентна двум источникам ЭДС, соединенным встречно.

ЭДС, индуцируемые в каждом кольце, равны:

$\mathcal{E}_1 = S_1 \frac{\Delta B}{\Delta t} = \pi r_1^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

$\mathcal{E}_2 = S_2 \frac{\Delta B}{\Delta t} = \pi r_2^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Наибольшая разность потенциалов, которая может привести к пробою изоляции, возникает в точке пересечения провода. В эквивалентной схеме это напряжение $U$ на зажимах между двумя источниками. Сопротивления участков провода, образующих кольца ($R_1$ и $R_2$), пропорциональны их длинам, то есть $R \sim L = 2\pi r$. Следовательно, отношение сопротивлений равно отношению радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2}$

Для схемы из двух встречно соединенных источников с ЭДС $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$ и внутренними сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, напряжение на зажимах $U$ определяется по формуле:

$U = \frac{\mathcal{E}_1 R_2 + \mathcal{E}_2 R_1}{R_1 + R_2}$

Подставим в эту формулу выражения для ЭДС и соотношение сопротивлений:

$U = \frac{(\pi r_1^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}) R_2 + (\pi r_2^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}) R_1}{R_1 + R_2}$

Вынесем общие множители и разделим числитель и знаменатель на $R_2$:

$U = \pi \frac{\Delta B}{\Delta t} \frac{r_1^2 R_2 + r_2^2 R_1}{R_1 + R_2} = \pi \frac{\Delta B}{\Delta t} \frac{r_1^2 + r_2^2 (R_1/R_2)}{(R_1/R_2) + 1}$

Подставим $\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2}$:

$U = \pi \frac{\Delta B}{\Delta t} \frac{r_1^2 + r_2^2 (r_1/r_2)}{(r_1/r_2) + 1} = \pi \frac{\Delta B}{\Delta t} \frac{r_1^2 + r_1 r_2}{(r_1+r_2)/r_2} = \pi \frac{\Delta B}{\Delta t} \frac{r_1(r_1 + r_2)r_2}{r_1+r_2}$

После сокращения получаем простую формулу:

$U = \pi r_1 r_2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$U = \pi \cdot (0.02 \text{ м}) \cdot (0.06 \text{ м}) \cdot \frac{5 \text{ Тл}}{0.50 \times 10^{-3} \text{ с}}$

$U = \pi \cdot 0.0012 \cdot 10^4 = 12\pi \text{ В}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:

$U \approx 12 \cdot 3.14159 \approx 37.7 \text{ В}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем 38 В. Это означает, что изоляция должна быть рассчитана на напряжение не менее 38 В, чтобы избежать электрического пробоя.

Ответ: Изоляция должна быть рассчитана на напряжение $U \ge 38 \text{ В}$.