Номер 33.2, страница 241 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 33. Свободные электромагнитные колебания. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 33.2, страница 241.

Условие.

33.2. Конденсатор емкостью $C_1$ заряжен до напряжения $U_1$, а конденсатор емкостью $C_2$ не заряжен (см. рисунок). Каким будет максимальное значение $I_M$ силы тока в катушке индуктивностью $\text{L}$ после замыкания ключа? Конденсаторы и катушку считайте идеальными.

☑ $I_M = U_1 \sqrt{\frac{C_1 C_2}{L(C_1 + C_2)}}$

Решение. После замыкания ключа в цепи возникают свободные электромагнитные колебания. Сила тока максимальна при прохождении системой «положения равновесия», т. е. когда на конденсаторах одинаковое напряжение $\text{U}$. Согласно закону сохранения заряда $(C_1 + C_2)U = C_1 U_1$, а согласно закону сохранения энергии

$\frac{(C_1 + C_2)U^2}{2} + \frac{L I_M^2}{2} = \frac{C_1 U_1^2}{2}$. Отсюда $I_M = U_1 \sqrt{\frac{C_1 C_2}{L(C_1 + C_2)}}$

Решение.

Дано:

Емкость первого конденсатора: $C_1$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_1$

Емкость второго конденсатора: $C_2$

Начальное напряжение на втором конденсаторе: $U_2 = 0$

Индуктивность катушки: $L$

Найти:

Максимальную силу тока в катушке: $I_M$

Решение:

Рассмотрим состояние системы в два момента времени: начальный (сразу после замыкания ключа, $t=0$) и момент, когда сила тока в катушке максимальна ($I = I_M$). Так как конденсаторы и катушка идеальные, в системе выполняются законы сохранения заряда и энергии.

1. Начальное состояние (t=0):

Конденсатор $C_1$ заряжен до напряжения $U_1$, а конденсатор $C_2$ не заряжен. Сила тока в цепи равна нулю.

Начальный заряд системы (на изолированных обкладках конденсаторов): $Q_0 = q_1 + q_2 = C_1U_1 + C_2 \cdot 0 = C_1U_1$.

Начальная энергия системы сосредоточена в электрическом поле первого конденсатора:

$W_0 = \frac{C_1U_1^2}{2}$.

2. Состояние при максимальном токе ($I = I_M$):

После замыкания ключа в цепи возникают свободные электромагнитные колебания. Сила тока достигает максимального значения в тот момент, когда энергия магнитного поля катушки максимальна. По закону сохранения энергии, в этот момент энергия электрического поля конденсаторов должна быть минимальна. Это происходит, когда система проходит "положение равновесия", то есть когда напряжения на конденсаторах выравниваются и становятся равными некоторому значению $U$.

Применим закон сохранения заряда. Общий заряд системы в этот момент распределен между двумя конденсаторами:

$Q = q'_1 + q'_2 = C_1U + C_2U = (C_1 + C_2)U$.

Так как заряд сохраняется, $Q = Q_0$:

$(C_1 + C_2)U = C_1U_1$.

Отсюда находим напряжение $U$ на конденсаторах в момент максимального тока:

$U = \frac{C_1U_1}{C_1 + C_2}$.

Теперь применим закон сохранения энергии. Энергия системы в момент максимального тока состоит из энергии электрического поля двух конденсаторов и энергии магнитного поля катушки:

$W = \frac{C_1U^2}{2} + \frac{C_2U^2}{2} + \frac{LI_M^2}{2} = \frac{(C_1 + C_2)U^2}{2} + \frac{LI_M^2}{2}$.

Так как энергия сохраняется, $W = W_0$:

$\frac{C_1U_1^2}{2} = \frac{(C_1 + C_2)U^2}{2} + \frac{LI_M^2}{2}$.

Подставим в это уравнение выражение для $U$, найденное из закона сохранения заряда:

$\frac{C_1U_1^2}{2} = \frac{(C_1 + C_2)}{2} \left( \frac{C_1U_1}{C_1 + C_2} \right)^2 + \frac{LI_M^2}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2:

$C_1U_1^2 = (C_1 + C_2) \frac{C_1^2U_1^2}{(C_1 + C_2)^2} + LI_M^2$.

$C_1U_1^2 = \frac{C_1^2U_1^2}{C_1 + C_2} + LI_M^2$.

Выразим член с искомой силой тока:

$LI_M^2 = C_1U_1^2 - \frac{C_1^2U_1^2}{C_1 + C_2}$.

$LI_M^2 = C_1U_1^2 \left( 1 - \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$.

$LI_M^2 = C_1U_1^2 \left( \frac{C_1 + C_2 - C_1}{C_1 + C_2} \right)$.

$LI_M^2 = C_1U_1^2 \frac{C_2}{C_1 + C_2}$.

Отсюда находим квадрат максимальной силы тока:

$I_M^2 = \frac{C_1C_2U_1^2}{L(C_1 + C_2)}$.

И, наконец, максимальную силу тока:

$I_M = \sqrt{\frac{C_1C_2U_1^2}{L(C_1 + C_2)}} = U_1 \sqrt{\frac{C_1C_2}{L(C_1 + C_2)}}$.

Ответ: $I_M = U_1 \sqrt{\frac{C_1C_2}{L(C_1 + C_2)}}$.