Номер 138, страница 244 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 33. Свободные электромагнитные колебания. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 138, страница 244.

Условие.

O38. Неоновая лампа с напряжением зажигания $U_3 = 156$ В включена в сеть 220 В, 50 Гц. Найдите частоту $\text{n}$ вспышек лампы. В течение какой части периода лампа горит? Напряжение гашения лампы считайте равным напряжению зажигания.

☑ $n = 100 \text{ с}^{}$; лампа горит 2/3 периода.

Решение. Выберем начало отсчета времени так, чтобы напряжение в сети изменялось по закону $u = U_M \sin\omega t$, где $U_M = \sqrt{2} \cdot 220 \text{ (В)} = 311 \text{ (В)}$. Неоновая лампа горит, когда $|u| \geq U_3$ (на рисунке соответствующие промежутки времени выделены). За период происходят две вспышки, поэтому $n = 100 \text{ с}^{}$. Продолжительность каждой вспышки равна $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{T}{2} - \frac{T}{\pi} \arcsin \frac{U_3}{U_M}$, т. е. лампа горит в течение доли периода $\frac{2\Delta t}{T} = 1 - \frac{2}{\pi} \arcsin \frac{U_3}{U_M} = 0,67$.

Решение.

Дано:

Напряжение зажигания (и гашения) неоновой лампы, $U_з = 156 \text{ В}$

Действующее (эффективное) напряжение в сети, $U_{действ} = 220 \text{ В}$

Частота переменного тока в сети, $\nu = 50 \text{ Гц}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Частоту вспышек лампы, $n$

2. Часть периода, в течение которой лампа горит, $\frac{\Delta t_{общ}}{T}$

Решение:

Частота n вспышек лампы

Напряжение в сети изменяется по синусоидальному закону. Неоновая лампа загорается, когда мгновенное значение напряжения по модулю становится равным или превышает напряжение зажигания $|u(t)| \ge U_з$.

За один период $T$ переменного тока напряжение дважды достигает значений, достаточных для зажигания лампы: один раз в положительной полуволне и один раз в отрицательной. Следовательно, за один период колебаний напряжения в сети лампа вспыхивает дважды. Это означает, что частота вспышек лампы $n$ в два раза больше частоты переменного тока $\nu$.

$n = 2\nu = 2 \cdot 50 \text{ Гц} = 100 \text{ Гц} = 100 \text{ с}^{-1}$

Ответ: $n = 100 \text{ с}^{-1}$.

В течение какой части периода лампа горит?

Мгновенное значение напряжения в сети описывается уравнением $u(t) = U_м \sin(\omega t)$, где $U_м$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega$ — циклическая частота.

Амплитудное напряжение связано с действующим напряжением соотношением:

$U_м = U_{действ} \cdot \sqrt{2} = 220 \cdot \sqrt{2} \approx 311 \text{ В}$

Лампа горит, когда $|u(t)| \ge U_з$, то есть $|U_м \sin(\omega t)| \ge U_з$.

Рассмотрим первую положительную полуволну ($0 \le t \le T/2$). Лампа зажжется в момент времени $t_1$, когда $u(t_1) = U_з$, и погаснет в момент $t_2$, когда напряжение снова станет равным $U_з$.

$U_з = U_м \sin(\omega t_1)$

Отсюда фаза зажигания: $\omega t_1 = \arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right)$.

Из симметрии синусоиды относительно момента времени $t = T/4$ (когда напряжение максимально), момент погасания $t_2$ можно найти как $t_2 = T/2 - t_1$.

Длительность одной вспышки в положительной полуволне: $\Delta t_1 = t_2 - t_1 = (T/2 - t_1) - t_1 = T/2 - 2t_1$.

Так как $\omega = \frac{2\pi}{T}$, то $t_1 = \frac{1}{\omega}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right) = \frac{T}{2\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right)$.

Подставим $t_1$ в выражение для $\Delta t_1$:

$\Delta t_1 = \frac{T}{2} - 2 \cdot \frac{T}{2\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right) = \frac{T}{2} - \frac{T}{\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right)$

Поскольку за один период происходит две одинаковые по длительности вспышки (в положительной и отрицательной полуволнах), общая длительность горения лампы за период $T$ равна $\Delta t_{общ} = 2\Delta t_1$.

$\Delta t_{общ} = 2 \left( \frac{T}{2} - \frac{T}{\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right) \right) = T - \frac{2T}{\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right)$

Чтобы найти, какую часть периода лампа горит, разделим $\Delta t_{общ}$ на $T$:

$\frac{\Delta t_{общ}}{T} = 1 - \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_м}\right)$

Подставим числовые значения (аргумент арксинуса вычисляется в радианах):

$\frac{\Delta t_{общ}}{T} = 1 - \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\frac{156}{311}\right) \approx 1 - \frac{2}{3.1416}\arcsin(0.5016) \approx 1 - 0.6366 \cdot 0.5253 \approx 1 - 0.3344 \approx 0.6656$

Это значение близко к $2/3 \approx 0.667$.

Ответ: лампа горит в течение $0.67$ периода (или примерно $2/3$ периода).