Номер 34.3, страница 246 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

34. Электромагнитное поле. Электромагнитные волны. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 34.3, страница 246.

Условие.

34.3. Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в три раза требует увеличения мощности передатчика в 9 раз? Во сколько раз следует увеличить мощность передатчика для увеличения дальности радиолокации в три раза? Поглощение энергии при распространении радиоволн не учитывайте.

Решение. Плотность потока энергии $\text{I}$ пропорциональна $P/R^2$, где $\text{P}$ — излучаемая мощность, а $\text{R}$ — расстояние от передатчика. Поскольку величина $\text{I}$, обеспечивающая прием, зависит только от чувствительности приемника, необходимая для данного приемника мощность передатчика пропорциональна $R^2$. При радиолокации цель, отражая пришедший к ней радиосигнал, сама становится вторичным источником радиоволн, мощность которого $P'$ пропорциональна интенсивности дошедшего до цели сигнала, т. е. величине $P/R^2$. Интенсивность же вернувшегося к радиолокатору отраженного сигнала пропорциональна $P'/R^2$, т. е. $P/R^4$. Следовательно, необходимая для радиолокации мощность $\text{P}$ пропорциональна $R^4$. Таким образом, для увеличения дальности радиолокации в три раза потребуется увеличить мощность передатчика в $3^4 = 81$ раз.

Решение.

Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в три раза требует увеличения мощности передатчика в 9 раз?

Дано:

Отношение новой дальности радиосвязи к начальной: $\frac{R_2}{R_1} = 3$.

Найти:

Отношение требуемой новой мощности передатчика к начальной: $\frac{P_2}{P_1}$.

Решение:

Радиосвязь представляет собой одностороннюю передачу сигнала от передатчика к приёмнику. Интенсивность $I$ (плотность потока энергии) электромагнитной волны, излучаемой источником, убывает с расстоянием. Если пренебречь поглощением энергии в среде, то энергия, излучаемая передатчиком мощностью $P$, равномерно распределяется по поверхности сферы радиусом $R$, площадь которой равна $S=4\pi R^2$.

Следовательно, интенсивность сигнала на расстоянии $R$ от передатчика определяется формулой:

$I = \frac{P}{4\pi R^2}$

Из этой зависимости следует, что интенсивность сигнала обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника: $I \propto \frac{P}{R^2}$.

Для успешного приёма сигнала его интенсивность на приёмнике должна быть не меньше некоторого порогового значения $I_{min}$, определяемого чувствительностью приёмного устройства. При увеличении максимальной дальности связи с $R_1$ до $R_2$ интенсивность сигнала на этой дальности должна оставаться прежней ($I_1 = I_2 = I_{min}$).

Для начальных условий ($P_1, R_1$) и новых условий ($P_2, R_2$) можем записать:

$I_{min} \propto \frac{P_1}{R_1^2}$ и $I_{min} \propto \frac{P_2}{R_2^2}$

Отсюда следует равенство:

$\frac{P_1}{R_1^2} = \frac{P_2}{R_2^2}$

Выразим отношение мощностей, которое нам нужно найти:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = (\frac{R_2}{R_1})^2$

По условию, дальность увеличивается в 3 раза, то есть $\frac{R_2}{R_1} = 3$. Подставим это значение:

$\frac{P_2}{P_1} = 3^2 = 9$

Таким образом, увеличение дальности связи в 3 раза требует увеличения мощности передатчика в 9 раз, чтобы скомпенсировать ослабление сигнала из-за распространения на большее расстояние.

Ответ: Мощность передатчика необходимо увеличить в 9 раз.

Во сколько раз следует увеличить мощность передатчика для увеличения дальности радиолокации в три раза?

Дано:

Отношение новой дальности радиолокации к начальной: $\frac{R_2}{R_1} = 3$.

Найти:

Отношение требуемой новой мощности передатчика к начальной: $\frac{P_2}{P_1}$.

Решение:

Радиолокация, в отличие от радиосвязи, является двусторонним процессом. Сигнал сначала должен дойти от радара до цели, а затем, отразившись от нее, вернуться обратно к приёмнику радара.

1. Распространение сигнала до цели. Интенсивность сигнала $I_{цель}$, достигающего цели на расстоянии $R$ от радара мощностью $P$, обратно пропорциональна квадрату расстояния:

$I_{цель} \propto \frac{P}{R^2}$

2. Отражение сигнала от цели. Цель, на которую падает сигнал, сама становится вторичным источником излучения (переизлучает энергию). Мощность этого отраженного сигнала $P_{отр}$ пропорциональна интенсивности падающего на цель сигнала $I_{цель}$.

$P_{отр} \propto I_{цель} \propto \frac{P}{R^2}$

3. Распространение отраженного сигнала к радару. Отраженный от цели сигнал распространяется обратно к приёмнику радара, снова преодолевая расстояние $R$. Интенсивность принятого радаром сигнала $I_{прием}$ пропорциональна мощности отраженного сигнала $P_{отр}$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $R$:

$I_{прием} \propto \frac{P_{отр}}{R^2}$

Теперь объединим эти зависимости, подставив выражение для $P_{отр}$ в последнюю формулу:

$I_{прием} \propto \frac{(\frac{P}{R^2})}{R^2} = \frac{P}{R^4}$

Полученная зависимость известна как основное уравнение радиолокации. Она показывает, что интенсивность возвращающегося к радару сигнала обратно пропорциональна четвертой степени расстояния до цели.

Для обнаружения цели на максимальной дальности интенсивность принимаемого сигнала должна быть равна пороговой чувствительности приёмника $I_{min}$. Следовательно, для начальных ($P_1, R_1$) и новых ($P_2, R_2$) условий имеем:

$\frac{P_1}{R_1^4} = \frac{P_2}{R_2^4}$

Отсюда находим искомое отношение мощностей:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{R_2^4}{R_1^4} = (\frac{R_2}{R_1})^4$

По условию, дальность увеличивается в 3 раза, т.е. $\frac{R_2}{R_1} = 3$. Подставляем:

$\frac{P_2}{P_1} = 3^4 = 81$

Ответ: Мощность передатчика необходимо увеличить в 81 раз.