Номер 33.4, страница 242 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 33. Свободные электромагнитные колебания. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 33.4, страница 242.

Условие.

33.4. Найдите действующее значение $\text{I}$ переменного тока (см. рис. а, б, в).

Решение. Величина $\text{I}$ представляет собой значение силы постоянного тока, при прохождении которого в проводнике выделяется такое же количество теплоты, как и при прохождении данного переменного тока за это же время (т. е. $I^2 = \overline{i^2}$).

а) Квадрат силы тока в любой момент равен $I_0^2$. Поэтому $I = I_0$.

б) $I^2 T = I_0^2 \cdot \frac{T}{8} + (-I_0)^2 \cdot \frac{T}{8}$, откуда $I = I_0/2$.

в) $I^2 T = I_0^2 \tau$, откуда $I = I_0 \sqrt{\frac{\tau}{T}}$.

Решение.

Дано:

Графики зависимости мгновенной силы тока $i$ от времени $t$ для трех случаев (рис. а, б, в).

Амплитудное значение тока: $I_0$.

Период тока: $T$.

Длительность импульса для случая в: $\tau$.

Найти:

Действующее значение переменного тока $I$ для каждого случая.

Решение:

Действующее (или эффективное) значение переменного тока $I$ определяется как значение такого постоянного тока, который за время, равное периоду переменного тока, выделит в проводнике то же количество теплоты, что и данный переменный ток. Квадрат действующего значения $I^2$ равен среднему значению квадрата мгновенной силы тока $i^2$ за период $T$. Это значение вычисляется по формуле:

$I^2 = \overline{i^2} = \frac{1}{T} \int_0^T i(t)^2 \, dt$

Соответственно, действующее значение тока равно $I = \sqrt{\overline{i^2}}$.

Рассчитаем действующее значение тока для каждого из трех представленных случаев.

а)

На графике (рис. а) изображен переменный ток прямоугольной формы (меандр). В течение первой половины периода ($0 \le t < T/2$) сила тока равна $I_0$, а в течение второй половины ($T/2 \le t < T$) — $-I_0$.

Квадрат мгновенного значения силы тока $i^2$ остается постоянным в течение всего периода:

Если $i = I_0$, то $i^2 = I_0^2$.

Если $i = -I_0$, то $i^2 = (-I_0)^2 = I_0^2$.

Таким образом, среднее значение квадрата силы тока за период равно самому этому значению:

$I^2 = \overline{i^2} = I_0^2$

Отсюда находим действующее значение тока:

$I = \sqrt{I_0^2} = I_0$

Ответ: $I = I_0$.

б)

На графике (рис. б) изображен ток в виде последовательности разнополярных импульсов. Согласно приведенной в задании формуле для решения, будем считать, что за один период $T$ ток принимает значение $I_0$ в течение общего времени $T/8$, значение $-I_0$ в течение общего времени $T/8$, а в остальное время он равен нулю.

Найдем среднее значение квадрата силы тока за период $T$, используя определение:

$I^2 = \frac{1}{T} \int_0^T i(t)^2 \, dt$

Поскольку ток отличен от нуля только в определенные промежутки времени, интеграл можно разбить на части. Общее количество тепла за период $T$ пропорционально $I^2T$. Это же количество тепла выделяется переменным током:

$I^2 T = I_0^2 \cdot \frac{T}{8} + (-I_0)^2 \cdot \frac{T}{8}$

Упростим выражение:

$I^2 T = I_0^2 \frac{T}{8} + I_0^2 \frac{T}{8} = I_0^2 \frac{2T}{8} = I_0^2 \frac{T}{4}$

Сократив на $T$, получим:

$I^2 = \frac{I_0^2}{4}$

Действующее значение тока равно:

$I = \sqrt{\frac{I_0^2}{4}} = \frac{I_0}{2}$

Ответ: $I = I_0/2$.

в)

На графике (рис. в) изображен ток в виде последовательности однополярных прямоугольных импульсов. В течение одного периода $T$ ток равен $I_0$ на интервале времени от $0$ до $\tau$ и равен нулю на остальной части периода, от $\tau$ до $T$.

Найдем среднее значение квадрата силы тока за период $T$:

$I^2 = \frac{1}{T} \int_0^T i(t)^2 \, dt = \frac{1}{T} \left( \int_0^\tau (I_0)^2 \, dt + \int_\tau^T (0)^2 \, dt \right)$

Второй интеграл равен нулю. Вычисляем первый:

$I^2 = \frac{1}{T} \int_0^\tau I_0^2 \, dt = \frac{I_0^2}{T} [t]_0^\tau = \frac{I_0^2}{T} (\tau - 0) = \frac{I_0^2 \tau}{T}$

Отсюда находим действующее значение тока:

$I = \sqrt{\frac{I_0^2 \tau}{T}} = I_0 \sqrt{\frac{\tau}{T}}$

Ответ: $I = I_0 \sqrt{\frac{\tau}{T}}$.