Номер 33.3, страница 241 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 33. Свободные электромагнитные колебания. Переменный ток. Упражнения - номер 33.3, страница 241.

Условие.

33.3. На рисунках приведены графики изменений напряжения на конденсаторе колебательного контура и силы тока в катушке этого контура. Найдите емкость конденсатора и индуктивность катушки контура.

☑ 13000 пФ; 7,6 мкГн.

Решение. Из приведенных в условии графиков видно, что период колебаний $T = 2$ мкс, амплитудные значения напряжения и силы тока $U_m = 12$ В, $I_m = 0,5$ А. Согласно закону сохранения энергии $C U_m^2 / 2 = L I_m^2 / 2$. Используя также формулу Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$, получим окончательно: но: $C = \frac{T \cdot I_m}{2\pi U_m}$, $L = \frac{T \cdot U_m}{2\pi I_m}$.

Решение.

Дано:

На основе предоставленных графиков определим параметры колебательного контура:

Амплитудное значение напряжения на конденсаторе: $U_m = 12$ В.

Амплитудное значение силы тока в катушке: $I_m = 0,5$ А.

Период колебаний (время одного полного цикла): $T = 2$ мкс.

Перевод в систему СИ:

$T = 2 \text{ мкс} = 2 \cdot 10^{-6}$ с.

Найти:

Емкость конденсатора $C$ — ?

Индуктивность катушки $L$ — ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется. Энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки:

$W_{C,max} = W_{L,max}$

Подставим формулы для максимальной энергии:

$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$

Из этого закона сохранения энергии мы получаем первое соотношение между искомыми величинами $C$ и $L$:

$C U_m^2 = L I_m^2$ (1)

Вторым уравнением, связывающим параметры контура, является формула Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$ (2)

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим эту систему.

Из уравнения (1) выразим индуктивность $L$ через емкость $C$:

$L = C \frac{U_m^2}{I_m^2}$

Подставим это выражение для $L$ в формулу Томсона (2):

$T = 2\pi\sqrt{\left(C \frac{U_m^2}{I_m^2}\right)C} = 2\pi\sqrt{C^2 \frac{U_m^2}{I_m^2}} = 2\pi C \frac{U_m}{I_m}$

Из полученного соотношения выразим емкость конденсатора $C$:

$C = \frac{T \cdot I_m}{2\pi U_m}$

Подставим числовые значения из условия:

$C = \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ с} \cdot 0,5 \text{ А}}{2\pi \cdot 12 \text{ В}} = \frac{1 \cdot 10^{-6}}{24\pi} \text{ Ф} \approx 0,01326 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Переведем в пикофарады ($1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$):

$C \approx 13260 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 13260$ пФ.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $C \approx 13000$ пФ.

Теперь найдем индуктивность катушки $L$. Из соотношения (1) выразим емкость $C$ через индуктивность $L$:

$C = L \frac{I_m^2}{U_m^2}$

Подставим это выражение в формулу Томсона (2):

$T = 2\pi\sqrt{L \left(L \frac{I_m^2}{U_m^2}\right)} = 2\pi\sqrt{L^2 \frac{I_m^2}{U_m^2}} = 2\pi L \frac{I_m}{U_m}$

Выразим индуктивность $L$:

$L = \frac{T \cdot U_m}{2\pi I_m}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ с} \cdot 12 \text{ В}}{2\pi \cdot 0,5 \text{ А}} = \frac{24 \cdot 10^{-6}}{\pi} \text{ Гн} \approx 7,639 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Переведем в микрогенри ($1 \text{ мкГн} = 10^{-6} \text{ Гн}$):

$L \approx 7,639$ мкГн.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $L \approx 7,6$ мкГн.

Ответ: емкость конденсатора $C \approx 13000$ пФ; индуктивность катушки $L \approx 7,6$ мкГн.