Номер 131, страница 236 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 131, страница 236.

Условие.

O31. Катушка имеет индуктивность $\text{L}$ и электрическое сопротивление $\text{R}$. В момент $t = 0$ катушку подключают к аккумулятору. Как выглядит график зависимости силы тока $\text{I}$ в катушке от времени? Оцените характерное время $\tau$ возрастания тока в катушке. ЭДС аккумулятора равна $\mathcal{E}$, его внутренним сопротивлением можно пренебречь.

Решение. Согласно закону Ома для всей цепи $IR = \mathcal{E} - L\frac{\Delta I}{\Delta t}$.

Отсюда для скорости изменения силы тока получаем $\frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{\mathcal{E}}{L} - I\frac{R}{L}$. Сразу после подключения $I = 0$, поэтому ток начнет возрастать со скоростью $\frac{\Delta I}{\Delta t} \approx \frac{\mathcal{E}}{L}$. При увеличении тока скорость его возрастания уменьшается и стремится к нулю при $I \rightarrow \mathcal{E}/R$ (см. рисунок). Время $\tau$ можно оценить, разделив конечное значение тока $\mathcal{E}/R$ на начальную скорость его роста $\mathcal{E}/L$, что дает $\tau \sim L/R$. Отметим, что $\tau$ не зависит от $\mathcal{E}$.

Решение.

Дано:

Индуктивность катушки: $L$

Электрическое сопротивление катушки: $R$

ЭДС аккумулятора: $ε$

Начальный момент времени: $t = 0$

Внутреннее сопротивление аккумулятора: $r \approx 0$

Найти:

1. Вид графика зависимости силы тока $I$ от времени $t$, то есть $I(t)$.

2. Оценить характерное время возрастания тока $τ$.

Решение:

При подключении катушки с индуктивностью $L$ и сопротивлением $R$ к источнику ЭДС $ε$ в цепи возникает электрический ток. Согласно второму правилу Кирхгофа (закону Ома для полной цепи), сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений на элементах контура.

В нашем случае в цепи действуют ЭДС аккумулятора $ε$ и ЭДС самоиндукции $ε_L$, возникающая в катушке при изменении тока. ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока и равна $ε_L = -L \frac{dI}{dt}$. Падение напряжения на сопротивлении катушки равно $U_R = I \cdot R$.

Запишем уравнение для контура:

$ε + ε_L = I \cdot R$

$ε - L \frac{dI}{dt} = I \cdot R$

Это дифференциальное уравнение, описывающее изменение тока в цепи с течением времени. Из него можно найти скорость изменения тока:

$\frac{dI}{dt} = \frac{ε - I \cdot R}{L} = \frac{ε}{L} - I \frac{R}{L}$

1. Анализ графика зависимости I(t)

Проанализируем поведение тока в начальный и конечный моменты времени.

В начальный момент времени $t = 0$:

Сразу после замыкания цепи ток равен нулю, так как индуктивность препятствует его мгновенному нарастанию. Итак, $I(0) = 0$.

Подставим это значение в выражение для скорости изменения тока:

$\left(\frac{dI}{dt}\right)_{t=0} = \frac{ε}{L} - 0 \cdot \frac{R}{L} = \frac{ε}{L}$

Это означает, что в начальный момент времени ток начинает расти с максимальной скоростью, а график $I(t)$ выходит из начала координат с наклоном, равным $\frac{ε}{L}$.

По прошествии большого времени ($t \to \infty$):

Ток в цепи стабилизируется и достигает своего установившегося (стационарного) значения $I_{уст}$. В этом состоянии ток перестает изменяться, то есть $\frac{dI}{dt} = 0$.

Из уравнения цепи получаем:

$ε - L \cdot 0 = I_{уст} \cdot R$

$I_{уст} = \frac{ε}{R}$

Таким образом, с течением времени ток асимптотически приближается к максимальному значению $I_{уст} = \frac{ε}{R}$.

Общий вид графика:

По мере возрастания тока $I$, член $I \frac{R}{L}$ в выражении для $\frac{dI}{dt}$ увеличивается, а значит, скорость роста тока уменьшается. График представляет собой кривую, выходящую из начала координат и плавно, с уменьшающимся наклоном, приближающуюся к горизонтальной асимптоте $I = \frac{ε}{R}$. Эта зависимость описывается экспоненциальной функцией: $I(t) = \frac{ε}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$. График показан на рисунке в условии задачи.

2. Оценка характерного времени возрастания тока $τ$

Характерное время $τ$ (также называемое постоянной времени RL-цепи) можно оценить как время, за которое ток достиг бы своего установившегося значения $I_{уст}$, если бы он всё время возрастал с начальной скоростью $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{t=0}$.

Это эквивалентно нахождению точки пересечения касательной к графику $I(t)$ в точке $t=0$ с асимптотой $I = I_{уст}$.

Уравнение касательной: $I_{кас}(t) = \left(\frac{dI}{dt}\right)_{t=0} \cdot t = \frac{ε}{L} t$.

Приравняем значение тока на касательной в момент $t=τ$ к установившемуся току $I_{уст}$:

$I_{кас}(τ) = I_{уст}$

$\frac{ε}{L} τ = \frac{ε}{R}$

Отсюда находим $τ$:

$τ = \frac{ε}{R} \cdot \frac{L}{ε} = \frac{L}{R}$

За это время $τ$ реальный ток в цепи достигает значения $I(τ) = \frac{ε}{R}(1 - e^{-1}) \approx 0.63 \frac{ε}{R}$, то есть примерно 63% от максимального значения.

Ответ: График зависимости силы тока от времени представляет собой экспоненциальную кривую, которая начинается в точке $(0, 0)$ и асимптотически приближается к значению установившегося тока $I_{уст} = \frac{ε}{R}$. Начальная скорость роста тока равна $\frac{ε}{L}$. Характерное время возрастания тока (постоянная времени цепи) оценивается как $τ = \frac{L}{R}$.