Номер 32.13, страница 235 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 32. Электромагнитная индукция. Упражнения - номер 32.13, страница 235.

Условие.

32.13. Электродвигатель включен в сеть постоянного тока с напряжением $U = 120 \text{ В}$. Сопротивление обмотки двигателя $R = 12 \text{ Ом}$. Какую максимальную мощность $N_{\text{max}}$ может развить этот двигатель? При какой силе тока $I_0$ достигается эта мощность? Напряжение в сети считайте постоянным.

☑ $N_{\text{max}} = 300 \text{ Вт}; I_0 = 5 \text{ А}$.

Решение. Потребляемая от сети постоянного тока мощность равна $UI$, а выделяющаяся в обмотке тепловая мощность равна $I^2R$ (эти величины не равны друг другу, поскольку $U \ne IR$ из-за возникновения ЭДС индукции в обмотке двигателя). Согласно закону сохранения энергии мощность $N = UI - I^2R = IR (U/R - I)$. Она зависит от скорости вращения двигателя: при замедлении вращения сила тока увеличивается, потому что ЭДС индукции уменьшается (см. задачу 32.6). Анализ формулы для мощности $\text{N}$ как функции силы тока $\text{I}$ показывает (см. математическое приложение): максимальную мощность $N_{\text{max}} = U^2/(4R) = 300 \text{ (Вт)}$ двигатель развивает при $I = I_0 = U/(2R) = 5 \text{ (А)}$.

Решение.

Дано:

Напряжение сети, $U = 120$ В

Сопротивление обмотки, $R = 12$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальную механическую мощность, $N_{max}$ - ?

Силу тока, при которой достигается максимальная мощность, $I_0$ - ?

Решение:

При работе электродвигателя потребляемая от сети электрическая мощность $P_{потр}$ расходуется на совершение механической работы (полезная мощность $N$) и на нагрев обмотки двигателя (тепловая мощность $P_{тепл}$).

Мощность, потребляемая от сети постоянного тока, определяется формулой:

$P_{потр} = U \cdot I$

где $U$ – напряжение сети, $I$ – сила тока в цепи.

Тепловая мощность, выделяющаяся на сопротивлении обмотки $R$ согласно закону Джоуля-Ленца, равна:

$P_{тепл} = I^2 \cdot R$

По закону сохранения энергии, полезная механическая мощность $N$ равна разности между потребляемой и тепловой мощностями:

$N = P_{потр} - P_{тепл} = U \cdot I - I^2 \cdot R$

Мы получили зависимость полезной мощности $N$ от силы тока $I$. Эта функция $N(I)$ представляет собой квадратичную параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $I^2$ отрицателен ($-R < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине. Чтобы найти ток $I_0$, при котором мощность максимальна, необходимо найти производную функции $N(I)$ по переменной $I$ и приравнять ее к нулю.

$\frac{dN}{dI} = \frac{d}{dI}(U \cdot I - I^2 \cdot R) = U - 2 \cdot I \cdot R$

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти ток $I_0$:

$U - 2 \cdot I_0 \cdot R = 0$

Отсюда выражаем $I_0$:

$I_0 = \frac{U}{2R}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$I_0 = \frac{120 \text{ В}}{2 \cdot 12 \text{ Ом}} = \frac{120}{24} \text{ А} = 5 \text{ А}$

Теперь, зная ток, при котором мощность максимальна, найдем значение этой максимальной мощности $N_{max}$, подставив $I_0$ в выражение для $N$:

$N_{max} = U \cdot I_0 - I_0^2 \cdot R$

Подставим числовые значения:

$N_{max} = 120 \text{ В} \cdot 5 \text{ А} - (5 \text{ А})^2 \cdot 12 \text{ Ом} = 600 \text{ Вт} - 25 \cdot 12 \text{ Вт} = 600 \text{ Вт} - 300 \text{ Вт} = 300 \text{ Вт}$

Альтернативно, можно подставить выражение для $I_0$ в формулу мощности, чтобы получить общую формулу для $N_{max}$:

$N_{max} = U \left(\frac{U}{2R}\right) - \left(\frac{U}{2R}\right)^2 R = \frac{U^2}{2R} - \frac{U^2}{4R^2} R = \frac{U^2}{2R} - \frac{U^2}{4R} = \frac{2U^2 - U^2}{4R} = \frac{U^2}{4R}$

Расчет по этой формуле дает тот же результат:

$N_{max} = \frac{(120 \text{ В})^2}{4 \cdot 12 \text{ Ом}} = \frac{14400}{48} \text{ Вт} = 300 \text{ Вт}$

Ответ: Максимальная мощность, которую может развить двигатель, составляет $N_{max} = 300$ Вт. Эта мощность достигается при силе тока $I_0 = 5$ А.