Номер 32.9, страница 233 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 32.9, страница 233.

Условие.

32.9. На цилиндрический железный сердечник радиусом $\text{r}$ надето изолированное металлическое кольцо такого же радиуса, имеющее электрическое сопротивление $\text{R}$. В сердечнике создается однородное магнитное поле, индукция которого изменяется по закону $B = aB_0 t$. Как изменяется со временем сила тока $\text{i}$ в кольце и разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца?

Решение. В кольце индуцируется постоянная ЭДС, равная $\pi r^2 aB_0$ и вызывающая постоянный ток $i = \pi r^2 aB_0 / R$. Плотность заряда всюду в кольце равна нулю (это следует из соображений симметрии), поэтому кулоновское поле отсутствует и разность потенциалов между любыми точками кольца равна нулю (вихревое электрическое поле, поддерживающее ток в кольце, непотенциально).

Решение.

Дано:

Радиус цилиндрического сердечника и кольца: $r$

Электрическое сопротивление кольца: $R$

Закон изменения индукции магнитного поля: $B(t) = aB_0t$, где $a$ и $B_0$ – постоянные величины.

Найти:

1. Зависимость силы тока от времени $i(t)$

2. Зависимость разности потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца от времени $U(t)$

Решение:

Как изменяется со временем сила тока i в кольце?

Изменение магнитного поля, пронизывающего кольцо, создает переменный магнитный поток. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это приводит к возникновению ЭДС индукции в кольце.

1. Найдем магнитный поток $Φ$ через кольцо. Площадь кольца $S = πr^2$. Магнитное поле однородно и перпендикулярно плоскости кольца, поэтому поток равен:

$Φ(t) = B(t) \cdot S = (aB_0t) \cdot (πr^2) = πr^2aB_0t$

2. ЭДС индукции $ε_i$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$ε_i = - \frac{dΦ}{dt} = - \frac{d}{dt}(πr^2aB_0t)$

Поскольку $π, r, a, B_0$ – константы, производная от $t$ равна 1:

$ε_i = - πr^2aB_0$

Величина ЭДС индукции $|ε_i| = πr^2aB_0$ является постоянной, так как магнитное поле изменяется с постоянной скоростью.

3. По закону Ома для замкнутой цепи, сила тока $i$ в кольце равна отношению ЭДС к сопротивлению кольца $R$:

$i = \frac{|ε_i|}{R} = \frac{πr^2aB_0}{R}$

Так как все величины в правой части выражения являются постоянными, сила тока в кольце не изменяется со временем.

Ответ: Сила тока в кольце постоянна и равна $i = \frac{πr^2aB_0}{R}$.

Как изменяется со временем разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца?

Полное электрическое поле $\vec{E}$ в проводнике можно представить как сумму двух полей: потенциального (кулоновского) поля $\vec{E_k}$, создаваемого электрическими зарядами, и вихревого (индуцированного) поля $\vec{E_в}$, создаваемого изменением магнитного поля.

$\vec{E} = \vec{E_k} + \vec{E_в}$

Разность потенциалов $U_{12} = φ_1 - φ_2$ между двумя точками по определению равна работе, совершаемой только потенциальным (кулоновским) полем $\vec{E_k}$ при перемещении единичного положительного заряда между этими точками:

$U_{12} = \int_1^2 \vec{E_k} \cdot d\vec{l}$

В данной задаче кольцо является однородным, и переменное магнитное поле также однородно по всей его площади. В силу полной симметрии задачи нет никаких причин для того, чтобы электрические заряды скапливались в какой-либо части кольца. Распределение зарядов остается равномерным, а значит, объемная плотность заряда всюду в кольце равна нулю. Это означает, что кулоновское поле $\vec{E_k}$ отсутствует ($\vec{E_k} = 0$).

Ток в кольце поддерживается исключительно вихревым электрическим полем $\vec{E_в}$, которое является непотенциальным (его циркуляция по замкнутому контуру не равна нулю, а равна ЭДС индукции: $\oint \vec{E_в} \cdot d\vec{l} = ε_i$).

Поскольку кулоновское поле отсутствует, разность потенциалов между любыми двумя точками кольца, в том числе и диаметрально противоположными, равна нулю.

$U = \int_1^2 \vec{E_k} \cdot d\vec{l} = \int_1^2 0 \cdot d\vec{l} = 0$

Эта разность потенциалов не изменяется со временем и всегда остается равной нулю.

Ответ: Разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца равна нулю и не изменяется со временем.